Volume de uma n-bola

Na geometria, uma bola é uma região no espaço que consiste de todos os pontos dentro de uma distância fixa a partir de um ponto fixo. Uma n-bola é uma bola em espaço euclidiano n-dimensional. O volume de uma n-bola é uma constante importante que ocorre em fórmulas na matemática .

Definição

Uma bola n-dimensional (ou n-bola) é a região delimitada por uma esfera-$(n-1)$: o conjunto de pontos em ${ℝ}^n$ satisfazendo $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2\le R^2$. É possível definir "volume" em ${ℝ}^n$ -- em $ℝ$ é o comprimento, em ${ℝ}^2$ é a área, em ${ℝ}^3$ é o volume normal e em ${ℝ}^n$ é o hipervolume.

Tabela de volumes e raios

Os volumes e raios da n-bola nas primeiras 15 dimensões são dadas na tabela a seguir.

Dimensão	Volume de uma n-bola de raio R	Raio de uma n-bola de volume V
0	$1$	(all 0-balls have volume 1)
1	$2R$	$\frac{V}{2}=0.5\times V$
2	$\pi R^2\approx 3.142\times R^2$	$\frac{V^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi }}\approx 0.564\times V^{\frac{1}{2}}$
3	$\frac{4\pi }{3}{R}^3\approx 4.189\times R^3$	${\left(\frac{3V}{4\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}\approx 0.620\times V^{\frac{1}{3}}$
4	$\frac{{\pi }^2}{2}{R}^4\approx 4.935\times R^4$	$\frac{(2V{)}^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi }}\approx 0.671\times V^{\frac{1}{4}}$
5	$\frac{8{\pi }^2}{15}{R}^5\approx 5.264\times R^5$	${\left(\frac{15V}{8{\pi }^2}\right)}^{\frac{1}{5}}\approx 0.717\times V^{\frac{1}{5}}$
6	$\frac{{\pi }^3}{6}{R}^6\approx 5.168\times R^6$	$\frac{(6V{)}^{\frac{1}{6}}}{\sqrt{\pi }}\approx 0.761\times V^{\frac{1}{6}}$
7	$\frac{16{\pi }^3}{105}{R}^7\approx 4.725\times R^7$	${\left(\frac{105V}{16{\pi }^3}\right)}^{\frac{1}{7}}\approx 0.801\times V^{\frac{1}{7}}$
8	$\frac{{\pi }^4}{24}{R}^8\approx 4.059\times R^8$	$\frac{(24V{)}^{\frac{1}{8}}}{\sqrt{\pi }}\approx 0.839\times V^{\frac{1}{8}}$
9	$\frac{32{\pi }^4}{945}{R}^9\approx 3.299\times R^9$	${\left(\frac{945V}{32{\pi }^4}\right)}^{\frac{1}{9}}\approx 0.876\times V^{\frac{1}{9}}$
10	$\frac{{\pi }^5}{120}{R}^{10}\approx 2.550\times R^{10}$	$\frac{(120V{)}^{\frac{1}{10}}}{\sqrt{\pi }}\approx 0.911\times V^{\frac{1}{10}}$
11	$\frac{64{\pi }^5}{10395}{R}^{11}\approx 1.884\times R^{11}$	${\left(\frac{10395V}{64{\pi }^5}\right)}^{\frac{1}{11}}\approx 0.944\times V^{\frac{1}{11}}$
12	$\frac{{\pi }^6}{720}{R}^{12}\approx 1.335\times R^{12}$	$\frac{(720V{)}^{\frac{1}{12}}}{\sqrt{\pi }}\approx 0.976\times V^{\frac{1}{12}}$
13	$\frac{128{\pi }^6}{135135}{R}^{13}\approx 0.911\times R^{13}$	${\left(\frac{135135V}{128{\pi }^6}\right)}^{\frac{1}{13}}\approx 1.007\times V^{\frac{1}{13}}$
14	$\frac{{\pi }^7}{5040}{R}^{14}\approx 0.599\times R^{14}$	$\frac{(5040V{)}^{\frac{1}{14}}}{\sqrt{\pi }}\approx 1.037\times V^{\frac{1}{14}}$
15	$\frac{256{\pi }^7}{2027025}{R}^{15}\approx 0.381\times R^{15}$	${\left(\frac{2027025V}{256{\pi }^7}\right)}^{\frac{1}{15}}\approx 1.066\times V^{\frac{1}{15}}$
n	Vn(R)	Rn(V)