Modelo Galves-Löcherbach

Vizualização 3D do modelo de Galves-Löcherbach simulando os disparos de 4000 neurônios (4 camadas com uma população de neurônios inibitórios e uma população de neurônios excitatórios cada) em 180 intervalos de tempo.

O Modelo Galves-Löcherbach é um modelo com estocasticidade intrínseca para redes de neurônios, no qual a probabilidade de disparos futuros é dependente da evolução total do sistema desde o último disparo. Esse modelo de redes neurais foi desenvolvido pelos matemáticos Antonio Galves e Eva Löcherbach. No artigo original, de 2013, os autores chamaram o modelo de "sistema de cadeias estocásticas com memória de alcance variável interagindo entre si".

História

Algumas inspirações do modelo são o sistema de partículas em interação de Frank Spitzer e a noção de cadeias estocásticas com memória de alcance variável de Jorma Rissanen. Outro trabalho que o influenciou inclui o estudo de Bruno Cessac com o modelo integra-e-dispara com vazamento, que por sua vez teve influência de Hédi Soula. Os próprios autores chamaram o processo apresentado por Cessac de "uma versão em dimensão finita" do modelo probabilístico.

Modelos anteriores de integra-e-dispara com características estocásticas necessitavam a inserção de um ruído para simular a estocasticidade. Esse modelo se destaca por ser inerentemente estocástisco, incorporando questões probabilísticas diretamente no cálculo dos disparos. Ele também é um modelo de implementação relativamente simples, do ponto de vista computacional, com uma boa relação entre custo e eficiência. É também um modelo não-markoviano, pois a probabilidade da ocorrência de um disparo de um neurônio dado depende da atividade acumulada do sistema desde o último disparo.

Desenvolvimentos do modelo foram realizados, contemplando a noção de limites hidrodinâmicos do sistema de neurônios em interação, o comportamento de longo prazo e aspectos referentes à estabilidade do processo no sentido de prever e classificar diferentes comportamentos como uma função dos parâmetros, e a generalização do modelo para tempo contínuo.

O modelo Galves-Löcherbach foi a pesquisa angular no desenvolvimento do Centro de Pesquisa, Inovação e Difusão em Neuromatemática.

Definição formal

O modelo supõe um conjunto enumerável de neurônios $I$, e modela sua evolução em instantes de tempo discretos $t\in \mathbb{Z}$ por meio de uma cadeia estocástica $(X_t{)}_{t\in \mathbb{Z}}$ assumindo valores no espaço de estados $\{0,1{\}}^I$. Mais precisamente, para cada neurônio $i\in I$ e instante de tempo $t\in \mathbb{Z}$, definimos $X_t(i)=1$ se o neurônio $i$ dispar no instante de $t$, e $X_t(i)=0$ em caso contrário. A configuração do conjunto de neurônios, no instante de tempo $t\in \mathbb{Z}$, é então definida por $X_t=(X_t(i),i\in I)$. Para cada instante de tempo $t\in \mathbb{Z}$, definimos a sigma-álgebra ${ℱ}_t=\sigma (X_s(j),j\in I,s\le t)$, representando o histórico da evolução da atividade deste conjunto de neurônios até o instante de tempo em questão $t$. A dinâmica da atividade deste conjunto de neurônios é definida do seguinte modo. Fixado o histórico ${ℱ}_{t-1}$, os neurônios disparam ou não no instante de tempo seguinte $t$ independentemente uns dos outros, isto é, para cada subconjunto $F\subset I$ finito e qualquer configuração $a_i\in \{0,1\},i\in F,$ tem-se que

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}(X_t(i)=a_i,i\in I|{ℱ}_{t-1})=\prod _{i\in I}\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}(X_t(i)=a_i|{ℱ}_{t-1})$.

Além disso, a probabilidade de um dado neurônio $i$ disparar em um dado tempo $t$, de acordo com o modelo probabilístico, é dada pela fórmula

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}(X_t(i)=1|{ℱ}_{t-1})={\varphi }_i(\sum _{j\in I}{W}_{j\to i}\sum _{s=L_t^i}^{t-1}{g}_j(t-s)X_s(j),t-L_t^i)$,

sendo $W_{j\to i}$ um peso sináptico que representa o aumento do potencial de ação do neurônio $i$ devido ao disparo do neurônio $j$, $g_j$ é uma função que modela o vazamento de potencial e $L_t^i$ o momento de disparo mais recente do neurônio $i$ antes do tempo em questão $t$, de acordo com a fórmula

$L_t^i=\text{sup}\{s<t:X_s(i)=1\}$.

No instante $s$ anterior a $t$, o neurônio $i$ dispara, restaurando o potencial de ação ao valor inicial.

Ver também

• Modelos de disparos neuronais
• Modelo Hodgkin-Huxley
• Neurociência computacional
• NeuroMat