Hipótese de Lindelöf

Predefinição:Sem notas A Hipótese de Lindelöf é uma conjectura feita pelo matemático finlandês Ernst Leonard Lindelöf (Predefinição:Harvtxt) sobre a taxa de crescimento da função zeta de Riemann na linha crítica implícita na hipótese de Riemann.

Para qualquer ε > 0,

ζ (\frac{1}{2} + i t) = O (t^{ε}),

à medida que t tende para o infinito (Notação Big O). Já que ε pode ser substituído por um valor menor, podemos escrever a conjectura da seguinte forma: para qualquer positivo ε,

ζ (\frac{1}{2} + i t) = o (t^{ε}) .

A função μ

Se σ é real, então µ(σ) é definido como sendo o ínfimo de todos os números reais 'a' , tais que ζ(σ + iT) = S(T^a). Podemos ver que µ(σ) = 0 para s > 1, e a equação funcional da função zeta implica que µ(σ) = μ(1 − σ) − σ + 1/2. O Princípio de Phragmen–Lindelöf implica que µ é uma função convexa. Os estados μ(1/2) = 0, juntamente com as propriedades de μ implicam que µ(σ) é de 0 para σ ≥ 1/2 e 1/2 − σ para σ ≤ 1/2.

O resultado de convexidade de Lindelöf implica junto com μ(1) = 0 e µ(0) = 1/2 em 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4. O limite superior foi reduzido de 1/4 a 1/6 por Hardy e Littlewood com a aplicação do método de estimativa de somas exponenciais de Weyl para a equação funcional aproximada. Desde então, o limite foi reduzido para pouco menos de 1/6 por diversos outros autores, utilizando longas provas técnicas, como a seguir:

μ(1/2) ≤	μ(1/2) ≤	Autor
1/4	0.25	Predefinição:Harvtxt
1/6	0.1667	Predefinição:Harvtxt
163/988	0.1650	Predefinição:Harvtxt
27/164	0.1647	Predefinição:Harvtxt
229/1392	0.164512	Predefinição:Harvtxt
	0.164511	Predefinição:Harvtxt
19/116	0.1638	Predefinição:Harvtxt
15/92	0.1631	Predefinição:Harvtxt
6/37	0.16217	Predefinição:Harvtxt
173/1067	0.16214	Predefinição:Harvtxt
35/216	0.16204	Predefinição:Harvtxt
139/858	0.16201	Predefinição:Harvtxt
32/205	0.1561	Predefinição:Harvard citations
53/342	0.1550	Predefinição:Harvtxt
13/84	0.1548	Predefinição:Harvtxt

Relação com a hipótese de Riemann

Predefinição:Harvtxt , mostrou que a Hipótese de Lindelöf equivale a declaração sobre os zeros da função zeta: para cada ε > 0, o número de zeros com parte real de pelo menos 1/2 + ε e a parte imaginária entre T e T + 1 é O(log(T)) T tende para o infinito. A hipótese de Riemann implica que não existem zeros em todos nessa região, e isso implica na Hipótese de Lindelöf. O número de zeros com parte imaginária entre T e T + 1 é conhecido por ser O(log(T)), de modo que a Hipótese de Lindelöf fica parecendo ser apenas um pouco mais forte do que o provado, mas, apesar disso, ele tem resistido a todas as tentativas para provar isso.

Meios de poderes (ou momentos) da função zeta

A Hipótese de Lindelöf equivale a:

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} | ζ (1 / 2 + i t) |^{2 k} d t = O (T^{ε})

Para todos os números inteiros positivos k e todos os números reais positivos ε. Isto tem sido provado para k = 1 ou 2, mas o caso k = 3, parece muito mais difícil e é ainda um problema em aberto.

Acredita-se que exista uma conjectura mais precisa sobre o comportamento assintótico da integral a seguir, para algumas constantes ck,j.

\int_{0}^{T} | ζ (1 / 2 + i t) |^{2 k} d t = T \sum_{j = 0}^{k^{2}} c_{k, j} \log (T)^{k^{2} - j} + o (T)

Provado para k = 1 e k = 2 por Littlewood e Predefinição:Harvtxt respectivamente (a partir de um resultado de Predefinição:Harvtxt, que encontrou um termo líder).

Predefinição:Harvtxt sugeriu que o valor $(42 / 9!) \prod_{p} ((1 - p^{- 1})^{4} (1 + 4 p^{- 1} + p^{- 2}))$ para o coeficiente principal, quando k é 6, e Predefinição:Harvtxt usado matriz aleatória para sugerir algumas conjecturas para os valores dos coeficientes maiores que k. Os coeficientes principais foram conjecturados para serem o produto de um fator elemental, um determinado produto sobre os números primos e o número de n por n Diagrama de Young dada pela sequência:

1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, Predefinição:OEIS.

Outras consequências

O n-ésimo número primo é denotando por p_n, e Albert Ingham mostrou um resultado, que mostra a Hipótese de Lindelöf implica para qualquer ε > 0,

p_{n + 1} - p_{n} ≪ p_{n}^{1 / 2 + ε}

se n é suficientemente grande. Porém, esse resultado é muito pior do que a conjectura primeiro-gap.

Referências

Hipótese de Lindelöf

Índice

A função μ

Relação com a hipótese de Riemann

Meios de poderes (ou momentos) da função zeta

Outras consequências

Referências

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Meios de poderes (ou momentos) da função zeta

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