Metodos de resíduos ponderados

Apresentação

Encontrar uma função que satisfaça uma equação diferencial pode ser muito difícil. Ao mesmo tempo, muitas vezes basta obter uma solução para um determinado intervalo, e não para todo o domínio. Os métodos de resíduos ponderados encontram uma função que aproxima a solução exata no intervalo com um grau de precisão satisfatório, e tanto melhor quanto menor o intervalo.

Ex: a equação $\frac{dy}{dx}=y$, para a condição de contorno: $y(0)=1$ tem como solução exata $y=e^x$. Uma solução aproximada (veremos posteriormente como ela é determinada) para o intervalo [0,1] é $y=0,3x^3+0,39x^2+1,03x+1$

Comparando os valores da função exata com os da função aproximada na tabela abaixo:

$x$	Exato ($y=e^x$)	$y=0,3x^3+0,39x^2+1,03x+1$
0	1	1
0,3	1,349859	1,3522
0,6	1,822119	1,8232
0,9	2,459603	2,4616

Nesse exemplo, a solução aproximada é um polinômio. De uma forma geral, os métodos de resíduos ponderados encontram soluções do tipo:

y = $\sum _{i=1}^n{a}_i*f_i$, onde $f_i$ (x) são funções quaisquer (usualmente denominadas funções interpoladoras), desde que contínuas e diferenciáveis, $a_i$ são coeficientes a determinar.

Quando essa função é substituída na equação diferencial resta um resíduo, já que ela não é exata. No exemplo acima:

$\frac{dy}{dx}-y=0$ (para solução exata) e $\frac{dy}{dx}-y=res(x)$ (para solução aproximada).

Se selecionarmos coeficientes tais que, ao substituir na equação diferencial, (com $f_i$ (x), sendo 1, x, x², x³ por exemplo), o resíduo não se afaste muito de zero ao longo de todo o intervalo, teremos conseguido nosso objetivo.

Entre os métodos de resíduos ponderados temos:

1. Método de colocação
2. Método de mínimos quadrados
3. Método dos momentos
4. Método de subdomínios
5. Método de Galerkin

Veremos a seguir 2 deles, Colocação e Galerkin.

Método de colocação

Seleciona-se arbitrariamente n pontos no intervalo, para os quais o resíduo é igualado a zero, onde n é o número de coeficientes a determinar. Obtém-se assim n equações e n incógnitas, o que permite determinar os coeficientes.

Para o exemplo da equação diferencial $\frac{dy}{dx}=y$ , com condição de contorno $y(0)=1$, e função aproximada $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+1$(satisfaz $y(0)=1$),

O resíduo $res=3a{x}^2+2bx+c$ – $a{x}^3$ – $b{x}^2$ – $cx$ - 1

Pontos selecionados (arbitrários, mas objetivando abranger o intervalo):

x=0,25; x=0,5; x=0,75

$res(0,25)$ = $3a(0,25{)}^2$ + $2b(0,25)$ + $c$ – $a(0,25{)}^3$ – $b(0,25{)}^2$ – $c(0,25)$ - 1 = 0

$res(0,5)$= $3a(0,5{)}^2$ + $2b(0,5)$ + $c$ – $a(0,5{)}^3$ – $b(0,5{)}^2$ – $c(0,5)$ - 1 = 0

$res(0,75)$= $3a(0,75{)}^2$ + $2b(0,75)$ + $c$ – $a(0,75{)}^3$ – $b(0,75{)}^2$ – $c(0,75)$ - 1 = 0

O que resulta no sistema:

0,171875a + 0,4375b + 0,75c = 1

0,625a + 0,75b + 0,5c = 1

1,26565a + 0,9375b + 0,25c = 1

Resolvendo o sistema:

a = 0,28; b = 0,42; c = 1,03

Comparando a solução aproximada com a exata:

$x$	Exato ($y=e^x$)	$y=0,28x^3+0,42x^2+1,03x+1$
0	1	1
0,3	1,349859	1,35436
0,6	1,822119	1,82968
0,9	2,459603	2,47132

A idéia do método é que se o resíduo assume várias vezes o valor zero no intervalo, espera-se que ele não assuma valores muito grandes, assegurando uma boa aproximação.

Observa-se que a solução é bem próxima à mostrada na apresentação do tópico. Esta foi obtida do método de Galerkin, apresentado a seguir.

Método de Galerkin

A estratégia aqui também é manter o resíduo bem próximo de zero no intervalo. Para que seja possível gerar n equações com n incógnitas, como no método da colocação, para cada função $f_i$ (x) gera-se a equação $\underset{l1}{\overset{l2}{\int }}(res(x)*f_i(x))dx$ = 0, onde l1 e l2 são os limites do intervalo. Essas integrais só podem ser zero, ou se res(x)=0 ao longo do intervalo (quando a solução seria exata), ou se pelo menos um ponto é zero, alternando trechos onde o integrando é maior que zero e outros em que é menor. Como no método anterior, o resíduo fica próximo de zero no intervalo.

No caso do mesmo exemplo do método anterior:

$res(x)=3a{x}^2+2bx+c$ – $a{x}^3$ – $b{x}^2$ – $cx$ - 1, e $f_1(x)$ = $x^3$, $f_2(x)$ = $x^2$ e $f_3(x)$ = $x$.

Repare-se que as funções interpoladoras $f_i(x)$ são usadas para construir uma função aproximada para $y$ e também como pesos para os integrais serem nulos.

No caso do mesmo exemplo, as integrais seriam:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}(res(x)*x^3)dx$ = 0,

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}(res(x)*x^2)dx$ = 0,

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}(res(x)*x)dx$ = 0,

Resolvendo as integrais obtém-se o sistema:

0,35714286a + 0,23333333b + 0,05c = 0,25

0,43333333a + 0,3b + 0,08333333c = 0,33333333

0,55a + 0,41666667b + 0,16666667c = 0,5

E resolvendo-se o sistema:

a = 0,3; b = 0,39; c = 1,03

Comparando a solução aproximada com a exata:

$x$	Exato ($y=e^x$)	$y=0,3x^3+0,39x^2+1,03x+1$
0	1	1
0,3	1,349859	1,3522
0,6	1,822119	1,8232
0,9	2,459603	2,4616

Que é a tabela vista logo na apresentação do tópico, mostrando o grau de precisão alcançado.

O método de Galerkin, além de gerar uma boa aproximação, é mais fácil de ser codificado, e por isso é o preferido nos programas de elementos finitos.