Fórmula de De Moivre

Abraham De Moivre

A fórmula de De Moivre afirma que:

$(\cos x+i\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x{)}^n=\cos (nx)+i\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(nx)\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Re }\wedge \mathrm{\forall }n\in Z$

Esta fórmula é importante porque estabelece uma ligação entre números complexos (i é a unidade imaginária) com a trigonometria. A expressão:

$\cos \left(x\right)+i\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\left(x\right)$

é frequentemente abreviada por:

$\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{s}\left(x\right)$.

ainda que a fórmula de Euler seja uma maneira mais comum de a descrever.

Abraham de Moivre foi amigo de Newton; em 1698 este último escreveu que esta fórmula era do seu conhecimento desde 1676.

A fórmula de De Moivre pode ser obtida da fórmula de Euler:

$e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\left(x\right)$

embora historicamente seja anterior a esta. Ela é um caso particular da expressão mais geral:

$(|z|(\cos x+i\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x){)}^n=|z{|}^n(\cos (nx)+i\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(nx))\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Re }\wedge \mathrm{\forall }n\in Z$

Demonstração

Vamos demonstrar a fórmula para $n\in \mathbb{N}$ por indução e, depois generalizar, não recorrendo à fórmula de Euler. Queremos provar que

$z^n=(|z|(\cos x+i\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x){)}^n=|z{|}^n(\cos (nx)+i\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(nx)).\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Re }$, $n\in \mathbb{N}$ e com $z$ sendo um número complexo.

Para $n=1$ a identidade é verdadeira, pois tem-se $z=|z|(\cos x+i\sin x)$, que é a representação na forma polar de um número complexo (com $r=|z|$ e $\theta =x$).

Suponhamos agora que a propriedade se verifica para $n=k$ e provemos que também o é para $n=k+1$. Temos:

$z^{k+1}=z{z}^k=|z{|}^{k+1}(\cos x\cos (kx)+i(\cos x\sin (kx)+\sin x\cos (kx))-\sin x\sin (kx))=|z{|}^{k+1}(\cos (x(k+1))+i\sin (k(x+1)))$

Conseguimos provar que a fórmula se verifica, recorrendo às fórmulas $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ e $\sin (a+b)=\cos a\sin b+\sin a\cos b$.

Queremos agora generalizar para $n\in \mathbb{Z}$. Para n=0 a propriedade é imediata se convencionarmos $z^0=1$

Consideremos $m=-n\in \mathbb{N}$. Então:

$z^n=(z^{-1}{)}^m=\frac{1}{|z{|}^m}{(\cos -x+i\sin -x)}^m$

Em que aplicámos propriedades dos complexos relacionadas com a potenciação e o quociente. Repare-se que agora estamos perante $-x$ e não $x$. Agora:

$\frac{1}{|z{|}^m}{(\cos -x+i\sin -x)}^m=|z{|}^{-m}(\cos -mx+isin-mx)$

Aplicámos apenas a fórmula que já demonstrámos para os números naturais, uma vez que, como $n$ é negativo, $m$ é positivo (natural).

Substituindo de volta por $n=-m$:

$z^n=|z{|}^n(\cos nx+i\sin nx),\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}$, Q.E.D.

Destaque para o facto de a fórmula de De Moivre ser um caso particular para $|z|=1$