Teorema de Girsanov

Visualização do teorema de Girsanov. O lado esquerdo mostra um processo de Wiener negativo; do lado direito, cada etapa do processo está colorido de acordo com a probabilidade na medida Q. A densidade de transformação de P a Q é dada pelo teorema de Girsanov.

Na teoria da probabilidade, o teorema de Girsanov (em nome de Igor Vladimirovich Girsanov) descreve como a dinâmica de processos estocásticos muda quando o a medida original é alterada para uma medida da probabilidade equivalente.Predefinição:Rp O teorema é especialmente importante na teoria da matemática financeira, na medida em que converte a probabilidade de uma medida física que descreve a probabilidade de que um ativo subjacente (como um preço ou uma taxa de juros) ter um determinado valor ou valores em uma medida de risco-neutro, uma uma ferramenta muito útil para o cálculo de preços derivados do subjacente.

História

Resultados deste tipo foram pela primeira vez demonstrados por Cameron–Martin na década de 1940 e por Girsanov, em 1960. Eles foram, posteriormente, estendido para classes mais gerais de processo que culminaram na forma geral de Lenglart (1977).

Significado

O teorema de Girsanov é importante na teoria geral de processos estocásticos, pois permite que o resultado-chave de que se Q é uma medida absolutamente contínua com respeito a P , então, todo P-semimartingale é um Q-semimartingale.

Demonstração do teorema

Apresentamos o teorema primeiro para o caso especial quando o processo estocástico subjacente é um processo de Wiener. Este caso especial é suficiente para preços de risco-neutro no modelo de Black-Scholes e em muitos outros modelos (por exemplo, modelos contínuos).

Deixe $\{W_t\}$ ser um processo de Wiener espaço de probabilidade Wiener $\{\mathrm{\Omega },ℱ,P\}$. Deixe $X_t$ ser um processo adaptado mensurável para a filtragem natural do processo de Wiener$\{{ℱ}_t^W\}$ com $X_0=0$.

Defina o exponencial Doléans $ℰ(X{)}_t$ de X com respeito a W

$ℰ(X{)}_t=\exp (X_t-\frac{1}{2}[X{]}_t),$

Se $ℰ(X{)}_t$ é um martingale estritamente positivo, uma medida de probabilidade Q pode ser definida em $\{\mathrm{\Omega },ℱ\}$ de tal forma a termos um derivativo de de Radon–Nikodym

$\frac{dQ}{dP}{|}_{{ℱ}_t}=ℰ(X{)}_t$

Em seguida, para cada t a medida Q restrita para os campos sigma não aumentados ${ℱ}_t^W$ é equivalente a P restrito a ${ℱ}_t^W$. Além disso, se Y é um local de martingale em P, então o processo

${\tilde{Y}}_t=Y_t-{[Y,X]}_t$

é um Q local de martingale no espaço de probabilidade filtrado $\{\mathrm{\Omega },F,Q,\{F_t^W\}\}$.

Ver também

• Teorema de Cameron–Martin

Ligações externas

• Notas sobre Estocásticos Cálculo que contém um esquema simples prova do teorema de Girsanov.
• Aplicada Multidimensional Teorema de Girsanov que contém financeiras aplicações do teorema de Girsanov.