Equação diferencial de Bernoulli

Predefinição:Sem notas Predefinição:Ver desambig A Equação diferencial de Bernoulli, cujo nome vem de Jakob Bernoulli, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n.$

(0.1)

onde $n$ é um qualquer número real. Para $n\ne 0$ e $n\ne 1$ esta equação diferencial não é linear.

Desenvolvimento

Para a resolver, vamos fazer uma mudança de variável dependente que a vai transformar numa equação diferencial linear de primeira ordem.

Começamos por dividir ambos membros por $y^n:$

$y^{-n}{y}^{\prime }+P(x)y^{1-n}=Q(x).$

(0.2)

Seja agora

$w=y^{1-n}$

Derivando $w$ obtemos

$w^{\prime }=(1-n)y^{1-n-1}{y}^{\prime }=(1-n)y^{-n}{y}^{\prime }$

Multiplicando ambos membros de (0.2) por $1-n,$ fica

$(1-n)y^{-n}{y}^{\prime }+(1-n)P(x)y^{1-n}=(1-n)Q(x).$

(0.3)

Ou seja,

$w^{\prime }+(1-n)P(x)w=(1-n)Q(x).$

(0.4)

A última equação é uma equação diferencial linear que (supondo, como acima, $P(x)$ e $Q(x)$ contínuas) pode ser resolvida pelo processo anteriormente descrito, chegando-se à solução geral de (0.9), depois de se substituir $w$ por $y^{1-n}.$

Exemplo

Vamos resolver a seguinte equação diferencial

$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=x{y}^2.$

(0.5)

Dividindo ambos os membros por $y^2$ fica

$y^{\prime }{y}^{-2}+\frac{1}{x}{y}^{-1}=x.$

(0.6)

Pondo

$w=y^{-1}.$

$w^{\prime }=-y^{-2}{y}^{\prime }.$

A equação (0.6) é equivalente a

$-y^{-2}{y}^{\prime }-\frac{1}{x}{y}^{-1}=-x.$

(0.7)

Substituindo $y$ por $w,$ vem

$w^{\prime }-\frac{1}{x}w=-x.$

(0.8)

Usando a notação anterior,

$P(x)=-\frac{1}{x}$ e $Q(x)=-x.$

$\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx=\underset{}{\overset{}{\int }}-\frac{1}{x}dx=-\ln |x|=\ln |x{|}^{-1}$

onde

$e^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}=e^{\ln |x{|}^{-1}}=|x{|}^{-1}$

e

$\underset{}{\overset{}{\int }}{e}^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}Q(x)dx=\underset{}{\overset{}{\int }}|x{|}^{-1}(-x)dx=\{\begin{array}{cc}\underset{}{\overset{}{\int }}-1dx,& \text{se }x\ge 0\\ \underset{}{\overset{}{\int }}1dx,& \text{se }x<0\end{array}=\{\begin{array}{cc}-x& \text{se }x\ge 0\\ x& \text{se }x<0\end{array}=-|x|.$

A solução geral de (0.8) é dada por

$e^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}w=\underset{}{\overset{}{\int }}{e}^{\underset{}{\overset{}{\int }}P(x)dx}Q(x)dx+C$

ou seja,

$|x{|}^{-1}w=-|x|+C.$

(0.9)

Para $x\ne 0,$ (0.9) é equivalente a

$w=-|x{|}^2+C|x|,$

ou seja, atendendo a que C é uma constante qualquer,

$w=-|x{|}^2+Cx.$

Substituindo $w$ por $y^{-1},$ vem

$y^{-1}=-x^2+Cx,$

ou ainda,

$y=\frac{1}{-x^2+Cx}.$

Ver também

• Equação diferencial
• Equação diferencial linear

Referências

• Predefinição:Citation. Cited in Predefinição:Harvtxt.
• Predefinição:Citation.

Ligações externas

• Predefinição:PlanetMath reference