Distribuição de probabilidade condicional

Uma distribuição de probabilidade conjunta com os valores observados.

Predefinição:Fundamentos de probabilidade Na teoria da probabilidade e estatística, dadas duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ distribuídas conjuntamente, a distribuição de probabilidade condicional de $Y$ dado $X$ é a distribuição de probabilidade de $Y$ quando $X$ é um determinado valor conhecido. Em alguns casos, as probabilidades condicionais podem ser expressas como funções contendo um valor não especificado $x$ de $X$ como um parâmetro. No caso em que ambos $X$ e $Y$ são variáveis categóricas, uma tabela de probabilidade condicional é normalmente usada para representar a probabilidade condicional. A distribuição condicional contrasta com a distribuição marginal de uma variável aleatória, que é a distribuição sem referência para o valor da outra variável.

Se a distribuição condicional de $Y$ dado $X$ é uma distribuição contínua, então a sua função densidade de probabilidade é conhecida como a função densidade condicional. As propriedades de uma distribuição condicional, tal como o momento, são muitas vezes chamadas por nomes correspondentes, tais como média condicional e variância condicional.

Geralmente, pode-se referir a distribuição condicional de um subconjunto de um conjunto de mais de duas variáveis; esta distribuição condicional é contingente sobre os valores de todas as variáveis restantes, e se mais do que uma variável é incluída no subconjunto então esta distribuição condicional é a distribuição conjunta condicional das variáveis.

Distribuições discretas

Para variáveis aleatórias discretas, a função massa de probabilidade condicional de $Y$ dada a ocorrência do valor $x$ de $X$ pode ser escrita de acordo com a sua definição como:

$p_Y(y\mid X=x)=P(Y=y\mid X=x)=\frac{P(X=x\cap Y=y)}{P(X=x)}$.

Devido à ocorrência de $P(X=x)$ em um denominador, isto é definido apenas para não-nulos (portanto, estritamente positivos) $P(X=x)$.

A relação com a distribuição de probabilidade de $X$ dado $Y$ é:

$P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(X=x\cap Y=y)=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y)$.

Distribuições contínuas

Da mesma forma, para variáveis aleatórias contínuas, a função de densidade de probabilidade condicional de $Y$ dada a ocorrência do valor $x$ de $X$ pode ser escrita como

${\displaystyle }$$f_Y(y\mid X=x)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}$,

onde $f_{X,Y}(x,y)$ dá a densidade conjunta de $X$ e $Y$, enquanto que $f_X(x)$ dá a densidade marginal de $X$. Também neste caso é necessário que $f_X(x)>0$.

A relação com a distribuição de probabilidade de $X$ dado $Y$ é dada por:

$f_Y(y\mid X=x)f_X(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_X(x\mid Y=y)f_Y(y)$.

O conceito de uma distribuição condicional de uma variável aleatória contínua não é tão intuitivo quanto parece: o paradoxo de Borel mostra que funções densidade de probabilidade condicionais não precisam ser invariantes sob transformações de coordenadas.

Relação com a independência

As variáveis aleatórias $X$, $Y$ são independentes se e somente se a distribuição condicional de $Y$ dado $X$ é, para todos os valores possíveis de $X$, igual à distribuição não condicional de $Y$. Para variáveis aleatórias discretas isto significa que $P(Y=y|X=x)=P(Y=y)$ para todos os $x$ e $y$. Para variáveis aleatórias contínuas $X$ e $Y$, tendo uma função de densidade conjunta, isso significa que $f_Y(y|X=x)=f_Y(y)$ para todos os $x$ e $y$.

Propriedades

Visto como uma função de $y$ para um dado $x$, $P(Y=y|X=x)$ é uma probabilidade e, portanto, a soma de todos os $y$ (ou a integral, se é uma densidade de probabilidade condicional) é igual a 1. Visto como uma função de $x$ dado $y$ é uma função de verossimilhança, de modo que a soma de todos os $x$ não precisa ser 1.

Formulação teórica

Seja $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ um espaço de probabilidade, $𝒢\subseteq ℱ$ um campo-$\sigma$ em $ℱ$, e $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ uma variável aleatória de valor real (mensurável a respeito do campo-$\sigma$ de Borel ${ℛ}^1$ em $ℝ$). Pode se mostrar que existe uma função $\mu :{ℛ}^1\times \mathrm{\Omega }\to ℝ$ tal que $\mu (\cdot ,\omega )$ é a medida de probabilidade em ${ℛ}^1$ para cada $\omega \in \mathrm{\Omega }$ (isto é, é regular) e $\mu (H,\cdot )=P(X\in H\mid 𝒢)$ (quase certamente) para todo $H\in {ℛ}^1$. Para qualquer $\omega \in \mathrm{\Omega }$, a função $\mu (\cdot ,\omega ):{ℛ}^1\to ℝ$ é chamada de distribuição de probabilidade condicional de $X$ dado $𝒢$. Neste caso,

$E[X\mid 𝒢]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\mu (dx,\cdot )$

quase certamente.

Relação com a expectativa condicional

Para qualquer evento $A\in 𝒜\supseteq ℬ$, definindo a função indicadora:

${\mathrm{𝟏}}_A(\omega )=\{\begin{array}{cc}1& \text{se }\omega \in A,\\ 0& \text{se }\omega \notin A,\end{array}$

que é uma variável aleatória. Observe que a expectativa dessa variável aleatória é igual à probabilidade de $A$ em si:

$\mathrm{E}({\mathrm{𝟏}}_A)=\mathrm{P}(A)$.

Então, a probabilidade condicional dado $ℬ$ é uma função $\mathrm{P}(\cdot \mid ℬ):𝒜\times \mathrm{\Omega }\to (0,1)$ de tal forma que $\mathrm{P}(A\mid ℬ)$ é a expectativa condicional da função indicadora para $A$:

$\mathrm{P}(A\mid ℬ)=\mathrm{E}({\mathrm{𝟏}}_A\mid ℬ)$

Em outras palavras, $\mathrm{P}(A\mid ℬ)$ é uma função $ℬ$-mensurável que satisfaz

$\underset{B}{\int }\mathrm{P}(A\mid ℬ)(\omega )\mathrm{d}\mathrm{P}(\omega )=\mathrm{P}(A\cap B)\text{para todo}A\in 𝒜,B\in ℬ$.

A probabilidade condicional é regular se $\mathrm{P}(\cdot \mid ℬ)(\omega )$ é também uma medida da probabilidade para todo $\omega \in \mathrm{\Omega }$. Uma expectativa de uma variável aleatória em relação a uma probabilidade condicional regular é igual a sua expectativa condicional.

• Para o sigma-álgebra trivial $ℬ=\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$ a probabilidade condicional é uma função constante, $\mathrm{P}(A\mid \{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\})\equiv \mathrm{P}(A)$.
• Para $A\in ℬ$, como descrito acima, $\mathrm{P}(A\mid ℬ)=1_A$.

Veja também

• Probabilidade condicionada
• Probabilidade condicional regular
• Teorema de Bayes