Equação de Tanaka

Em matemática, a equação de Tanaka é um exemplo de equação diferencial estocástica que admite uma solução fraca, mas que não tem nenhuma solução forte. Recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Hiroshi Tanaka.

Definição

A equação de Tanaka é uma equação diferencial estocástica unidimensional:

$\mathrm{d}{X}_t=\mathrm{sgn}(X_t)\mathrm{d}{B}_t,$

dirigida pelo movimento browniano canônico

$B$

com condição inicial

$X_0=0$

, em que

$\mathrm{sgn}$

denota a função sinal:

$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{cc}+1,& x\ge 0;\\ -1,& x<0.\end{array}$

Destaca-se o valor não convencional de

$\mathrm{sgn}(0)$

. A função sinal não satisfaz a condição de continuidade de Lipschitz exigida para teoremas usuais que garantem a existência e a unicidade de soluções fortes. A equação de Tanaka não tem nenhuma solução forte, isto é, uma para a qual a versão

$B$

do movimento browniano é dada antecipadamente e a solução

$X$

é adaptada à filtração gerada por

$B$

e pelas condições iniciais. Entretanto, a equação de Tanaka tem uma solução fraca, uma para a qual o processo

$X$

e a versão do movimento browniano são ambos especificados como parte da solução, em vez do movimento browniano sendo dado a priori. Neste caso, simplesmente escolhe-se

$X$

para ser qualquer movimento browniano

$\hat{B}$

e define-se

$\tilde{B}$

por:

${\tilde{B}}_t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{sgn}\left({\hat{B}}_s\right)\mathrm{d}{\hat{B}}_s=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{sgn}\left(X_s\right)\mathrm{d}{X}_s,$

isto é,

$\mathrm{d}{\tilde{B}}_t=\mathrm{sgn}(X_t)\mathrm{d}{X}_t.$

Assim,

$\mathrm{d}{X}_t=\mathrm{sgn}(X_t)\mathrm{d}{\tilde{B}}_t,$

e, então,

$X$

é uma solução fraca da equação de Tanaka. Além disto, esta solução é fracamente única, isto é, qualquer outra solução fraca deve ter a mesma lei.