Teoria acústica

Teoria Acústica é um campo cientifico que relaciona a descrição de ondas sonoras. Ela é derivada da mecânica dos fluidos. Veja acústica para a abordagem da engenharia.

A propagação de ondas sonoras em fluidos (como a água) pode ser modelado por uma equação de continuidade (conservação da massa) e uma equação de movimento (conservação do momento) . Com algumas simplificações, em particular densidade constante, elas podem ser dadas como segue:

$\begin{array}{cc}\frac{\partial p}{\partial t}+\kappa \mathrm{\nabla }\cdot 𝐮& =0\text{(Equilíbrio da massa)}\\ {\rho }_0\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+\mathrm{\nabla }p& =0\text{(Equilíbrio do momento)}\end{array}$

onde $p(𝐱,t)$ é a pressão acústica e $𝐮(𝐱,t)$ é o vetor da velocidade de fluxo, $𝐱$ é o vetor das coordenadas espaciais $x,y,z$, $t$ é o tempo, ${\rho }_0$ é a densidade de massa estática do meio e $\kappa$ é o Módulo volumétrico do meio. O módulo volumétrico pode ser expressado nos termos da densidade e a velocidade do som no meio ($c_0$) como

$\kappa ={\rho }_0{c}_0^2.$

Se o campo velocidade de fluxo é irrotacional, $\mathrm{\nabla }\times 𝐮=\mathrm{𝟎}$, então a equação da onda é a combinação desses dois conjuntos de equações de equilíbrio e pode ser expressado como

$\frac{{\partial }^2𝐮}{\partial t^2}-c_0^2{\mathrm{\nabla }}^2𝐮=0\text{or}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}-c_0^2{\mathrm{\nabla }}^{2}p=0,$

onde nós usamos o vetor laplaciano, ${\mathrm{\nabla }}^2𝐮=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐮)$ . A equação da onda (e as equações de equilíbrio da massa e do momento) são frequentemente expressas nos termos de um potencial escalar $\phi$ onde $𝐮=\mathrm{\nabla }\phi$. Neste caso a equação da onda é escrita como

$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}-c_0^2{\mathrm{\nabla }}^2\phi =0$

e o momento de equilíbrio e o equilíbrio da massa são expressados como

$p+{\rho }_0\frac{\partial \phi }{\partial t}=0;\rho +\frac{{\rho }_0}{c_0^2}\frac{\partial \phi }{\partial t}=0.$

Derivadas de equações governantes

As derivadas das equações acima para ondas em um meio acústico são dadas abaixo.

Conservação do momento

As equações para a conservação do momento linear para o meio fluido são

$\rho (\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }𝐮)=-\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\tau }+\rho 𝐠$

onde $𝐠$ é a força do corpo por unidade de massa, $p$ é a pressão, e $\mathit{\tau }$ é a desvio de tensão. Se $\mathit{\sigma }$ é o [[Tensor tensão de Cauchy|tensor Cauchy], então

$p:=-\frac{1}{3}\text{tr}(\mathit{\sigma });\mathit{\sigma }:=-p𝑰+\mathit{\tau }$

onde $𝑰$ é um tensor de segunda ordem.

Nós fazemos diversas suposições para derivar a equação do momento de equilíbrio para um meio acústico. Essas suposições e as formas resultantes da equação de momento são destacadas abaixo.

Suposição 1: Fluídos Newtonianos

Em acústica, o meio do fluído é assumida como sendo Newtoniano. Para um fluido Newtoniano, o tensor de desvio de tensão é relacionado a velocidade de fluxo por

$\mathit{\tau }=\mu [\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T]+\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)𝑰$

onde $\mu$ é a viscosidade de cisalhamento e $\lambda$ é a viscosidade do módulo.

Assim sendo, a divergência de $\mathit{\tau }$ é dada por

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\tau }\equiv \frac{\partial s_{ij}}{\partial x_i}& =\mu \left[\frac{\partial }{\partial x_i}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i})\right]+\lambda \left[\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)\right]{\delta }_{ij}\\ & =\mu \frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial x_i\partial x_j}+\mu \frac{{\partial }^2{u}_j}{\partial x_i\partial x_i}+\lambda \frac{{\partial }^2{u}_k}{\partial x_k\partial x_j}\\ & =(\mu +\lambda )\frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial x_i\partial x_j}+\mu \frac{{\partial }^2{u}_j}{\partial x_i^2}\\ & \equiv (\mu +\lambda )\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\mu {\mathrm{\nabla }}^2𝐮.\end{array}$

Usando a identidade ${\mathrm{\nabla }}^2𝐮=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)-\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times 𝐮$, nós temos

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\tau }=(2\mu +\lambda )\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)-\mu \mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times 𝐮.$

As equações de conservação do momento então podem ser escritas como

$\rho (\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }𝐮)=-\mathrm{\nabla }p+(2\mu +\lambda )\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)-\mu \mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times 𝐮+\rho 𝐠$

Suposição 2: Fluxo irrotacional

Para a maioria dos problemas de acústica nós assumimos que o fluxo é irrotacional, isso é, a vorticidade é zero. Neste caso

$\mathrm{\nabla }\times 𝐮=0$

e a equação de momento pode ser reduzida para

$\rho (\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }𝐮)=-\mathrm{\nabla }p+(2\mu +\lambda )\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\rho 𝐠$

Suposição 3: Sem força de corpo

Outro suposição frequentemente feita é de que o efeito das forças do corpo no meio do fluido é negligenciável. A equação de momento então simplifica ainda mais para

$\rho (\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }𝐮)=-\mathrm{\nabla }p+(2\mu +\lambda )\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)$

Suposição 4: Sem forças viscosas

Adicionalmente, se nós assumimos que não há forças viscosas no meio (as viscosidades de massa e cisalhamento são zero), a equação do momento assume a forma

$\rho (\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }𝐮)=-\mathrm{\nabla }p$

Suposição 5: Pequenas perturbações

Uma importante suposição de simplificação para equações de onda é que a amplitude de perturbação das grandezas de campo é pequena. Esta suposição nos leva para a equação linear ou equação de pequenos sinais acústicos de onda. Então nós podemos expressar as variáveis como a soma do (média de tempo) campo médio ($⟨\cdot ⟩$) que varia no espaço e um pequeno campo flutuante ($\tilde{\cdot }$) que varia no espaço e tempo. Que é

$p=⟨p⟩+\tilde{p};\rho =⟨\rho ⟩+\tilde{\rho };𝐮=⟨𝐮⟩+\widetilde{𝐮}$

e

$\frac{\partial ⟨p⟩}{\partial t}=0;\frac{\partial ⟨\rho ⟩}{\partial t}=0;\frac{\partial ⟨𝐮⟩}{\partial t}=\mathrm{𝟎}.$

Então a equação de momento pode ser expressa como

$[⟨\rho ⟩+\tilde{\rho }][\frac{\partial \widetilde{𝐮}}{\partial t}+[⟨𝐮⟩+\widetilde{𝐮}]\cdot \mathrm{\nabla }[⟨𝐮⟩+\widetilde{𝐮}]]=-\mathrm{\nabla }[⟨p⟩+\tilde{p}]$

Como as flutuações são assumidas como pequenas, produtos dos termos flutuantes podem ser negligenciados (para primeira ordem) e nós temos

$\begin{array}{cc}⟨\rho ⟩\frac{\partial \widetilde{𝐮}}{\partial t}& +[⟨\rho ⟩+\tilde{\rho }][⟨𝐮⟩\cdot \mathrm{\nabla }⟨𝐮⟩]+⟨\rho ⟩[⟨𝐮⟩\cdot \mathrm{\nabla }\widetilde{𝐮}+\widetilde{𝐮}\cdot \mathrm{\nabla }⟨𝐮⟩]\\ & =-\mathrm{\nabla }[⟨p⟩+\tilde{p}]\end{array}$

Suposição 6: Meio Homogêneo

Em seguida, assumidos que o meio é homogêneo; no sentido de que as variáveis de média do tempo $⟨p⟩$ e $⟨\rho ⟩$ tem gradientes nulos, que é,

$\mathrm{\nabla }⟨p⟩=0;\mathrm{\nabla }⟨\rho ⟩=0.$

A equação momento então se torna

$⟨\rho ⟩\frac{\partial \widetilde{𝐮}}{\partial t}+[⟨\rho ⟩+\tilde{\rho }][⟨𝐮⟩\cdot \mathrm{\nabla }⟨𝐮⟩]+⟨\rho ⟩[⟨𝐮⟩\cdot \mathrm{\nabla }\widetilde{𝐮}+\widetilde{𝐮}\cdot \mathrm{\nabla }⟨𝐮⟩]=-\mathrm{\nabla }\tilde{p}$

Suposição 7: Meio em repouso

Neste estágio nos assumimos que o meio está em repouso, o que implica, que a velocidade média de fluxo é zero, isto é, $⟨𝐮⟩=0$. Então o balanço do momento se reduz para

$⟨\rho ⟩\frac{\partial \widetilde{𝐮}}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }\tilde{p}$

Deixando cair os tis e usando ${\rho }_0:=⟨\rho ⟩$, nós obtemos a comumente usada forma da equação de momento

${\rho }_0\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+\mathrm{\nabla }p=0.$

Conservação da massa

A equação para a conservação da massa em um volume de fluido (sem nenhuma fonte de massa ou sumidouro) é dada por

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)=0$

onde $\rho (𝐱,t)$ é a densidade da massa do fluido e $𝐮(𝐱,t)$ a velocidade de fluxo.

A equação para a conservação de massa para médio acústico pode também ser derivado em uma maneira similar para aquela usada para a conservação do momento.

Suposição 1: Pequenas perturbações

Da suposição de pequenas perturbações nós temos

$p=⟨p⟩+\tilde{p};\rho =⟨\rho ⟩+\tilde{\rho };𝐮=⟨𝐮⟩+\widetilde{𝐮}$

e

$\frac{\partial ⟨p⟩}{\partial t}=0;\frac{\partial ⟨\rho ⟩}{\partial t}=0;\frac{\partial ⟨𝐮⟩}{\partial t}=\mathrm{𝟎}.$

Então a equação da massa pode ser escrita como

$\frac{\partial \tilde{\rho }}{\partial t}+[⟨\rho ⟩+\tilde{\rho }]\mathrm{\nabla }\cdot [⟨𝐮⟩+\widetilde{𝐮}]+\mathrm{\nabla }[⟨\rho ⟩+\tilde{\rho }]\cdot [⟨𝐮⟩+\widetilde{𝐮}]=0$

Se nós negligenciarmos esses termos da primeira ordem nas flutuações, a equação da massa se torna

$\frac{\partial \tilde{\rho }}{\partial t}+[⟨\rho ⟩+\tilde{\rho }]\mathrm{\nabla }\cdot ⟨𝐮⟩+⟨\rho ⟩\mathrm{\nabla }\cdot \widetilde{𝐮}+\mathrm{\nabla }[⟨\rho ⟩+\tilde{\rho }]\cdot ⟨𝐮⟩+\mathrm{\nabla }⟨\rho ⟩\cdot \widetilde{𝐮}=0$

Suposição 2: Meio homogêneo

Em seguida nós assumimos que o meio é homogêneo, ou seja,

$\mathrm{\nabla }⟨\rho ⟩=0.$

Então a equação de equilíbrio da massa toma a forma

$\frac{\partial \tilde{\rho }}{\partial t}+[⟨\rho ⟩+\tilde{\rho }]\mathrm{\nabla }\cdot ⟨𝐮⟩+⟨\rho ⟩\mathrm{\nabla }\cdot \widetilde{𝐮}+\mathrm{\nabla }\tilde{\rho }\cdot ⟨𝐮⟩=0$

Suposição 3: Meio em repouso

Neste estágio nós assumimos que o meio está em repouso, ou seja, $⟨𝐮⟩=0$. Então a equação de equilíbrio da massa pode ser expressada como

$\frac{\partial \tilde{\rho }}{\partial t}+⟨\rho ⟩\mathrm{\nabla }\cdot \widetilde{𝐮}=0$

Suposição 4: Gás ideal, adiabático, reversível

Para fechar o sistema de equações nós precisamos de uma equação de estado para a pressão. Para fazer aquilo nós assumimos que o meio é um gás ideal e todas as ondas acústicas comprimem o meio em um adiabático e reversível maneira. A equação de estado pode então ser expressa na forma de uma equação diferencial:

$\frac{dp}{d\rho }=\frac{\gamma p}{\rho };\gamma :=\frac{c_p}{c_v};c^2=\frac{\gamma p}{\rho }.$

onde $c_p$ é o calor específico em pressão constante, $c_v$ é o calor específico em volume constante, e $c$ é a velocidade da onda. O valor de $\gamma$ é 1.4 se o meio acústico é ar.

Para pequenas perturbações

$\frac{dp}{d\rho }\approx \frac{\tilde{p}}{\tilde{\rho }};\frac{p}{\rho }\approx \frac{⟨p⟩}{⟨\rho ⟩};c^2\approx c_0^2=\frac{\gamma ⟨p⟩}{⟨\rho ⟩}.$

onde $c_0$ é a velocidade do som no meio.

Sendo assim,

$\frac{\tilde{p}}{\tilde{\rho }}=\gamma \frac{⟨p⟩}{⟨\rho ⟩}=c_0^2⟹\frac{\partial \tilde{p}}{\partial t}=c_0^2\frac{\partial \tilde{\rho }}{\partial t}$

O equilíbrio de massa então pode ser escrito como

$\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial \tilde{p}}{\partial t}+⟨\rho ⟩\mathrm{\nabla }\cdot \widetilde{𝐮}=0$

Deixando cair os tis e definindo ${\rho }_0:=⟨\rho ⟩$ nos da a comumente utilizada expressão para o equilíbrio de massa em um meio acústico:

$\frac{\partial p}{\partial t}+{\rho }_0{c}_0^2\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0.$

Equações governantes em coordenadas cilíndricas

Se nós usarmos um sistema de coordenadas cilíndricas $(r,\theta ,z)$ com vetores base ${𝐞}_r,{𝐞}_{\theta },{𝐞}_z$, então o gradiente de $p$ e a divergência de $𝐮$ são dados por

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }p& =\frac{\partial p}{\partial r}{𝐞}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta }{𝐞}_{\theta }+\frac{\partial p}{\partial z}{𝐞}_z\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐮& =\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{1}{r}(\frac{\partial u_{\theta }}{\partial \theta }+u_r)+\frac{\partial u_z}{\partial z}\end{array}$

onde a velocidade de fluxo pode ser expressada como $𝐮=u_r{𝐞}_r+u_{\theta }{𝐞}_{\theta }+u_z{𝐞}_z$.

A equação para a conservação do momento pode ser escrita como

${\rho }_0[\frac{\partial u_r}{\partial t}{𝐞}_r+\frac{\partial u_{\theta }}{\partial t}{𝐞}_{\theta }+\frac{\partial u_z}{\partial t}{𝐞}_z]+\frac{\partial p}{\partial r}{𝐞}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta }{𝐞}_{\theta }+\frac{\partial p}{\partial z}{𝐞}_z=0$

Em termos de componentes, essas três equações para a conservação do momento em coordenadas cilíndricas são

${\rho }_0\frac{\partial u_r}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial r}=0;{\rho }_0\frac{\partial u_{\theta }}{\partial t}+\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta }=0;{\rho }_0\frac{\partial u_z}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial z}=0.$

A equação para a conservação da massa pode similarmente ser escrita em coordenadas cilíndricas como

$\frac{\partial p}{\partial t}+\kappa [\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{1}{r}(\frac{\partial u_{\theta }}{\partial \theta }+u_r)+\frac{\partial u_z}{\partial z}]=0.$

Equações acústicas harmônicas temporais em coordenadas cilíndricas

As equações acústicas para a conservação do momento e da conservação de massa são frequentemente expressas no tempo na uma forma harmônica (em frequência fixa). Neste caso, as pressões e a velocidade de fluxo são assumidas como funções harmônicas de tempo na forma

$p(𝐱,t)=\hat{p}(𝐱)e^{-i\omega t};𝐮(𝐱,t)=\widehat{𝐮}(𝐱)e^{-i\omega t};i:=\sqrt{-1}$

onde $\omega$ é a frequencia. A substituição dessas expressões em equações governantes em coordenadas cilíndricas nos da a forma de frequencia fixa da conservação de momento

$\frac{\partial \hat{p}}{\partial r}=i\omega {\rho }_0{\hat{u}}_r;\frac{1}{r}\frac{\partial \hat{p}}{\partial \theta }=i\omega {\rho }_0{\hat{u}}_{\theta };\frac{\partial \hat{p}}{\partial z}=i\omega {\rho }_0{\hat{u}}_z$

e a forma de frequencia fixa da conservação de massa

$\frac{i\omega \hat{p}}{\kappa }=\frac{\partial {\hat{u}}_r}{\partial r}+\frac{1}{r}(\frac{\partial {\hat{u}}_{\theta }}{\partial \theta }+{\hat{u}}_r)+\frac{\partial {\hat{u}}_z}{\partial z}.$

Caso Especial: Sem dependência no z

Nesse caso especial onde as quantidades de campo são independentes da coordenada z nós podemos eliminar $u_r,u_{\theta }$ para conseguir

$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\omega }^2{\rho }_0}{\kappa }p=0$

Assumindo que a solução para está equação possa ser escrita como

$p(r,\theta )=R(r)Q(\theta )$

nós podemos escrever a equação diferencial parcial como

$\frac{r^2}{R}\frac{d^{2}R}{d{r}^2}+\frac{r}{R}\frac{dR}{dr}+\frac{r^2{\omega }^2{\rho }_0}{\kappa }=-\frac{1}{Q}\frac{d^{2}Q}{d{\theta }^2}$

O lado esquerdo não é uma função de $\theta$ enquanto que o lado direito não é uma função de $r$. Consequentemente,

$r^2\frac{d^{2}R}{d{r}^2}+r\frac{dR}{dr}+\frac{r^2{\omega }^2{\rho }_0}{\kappa }R={\alpha }^{2}R;\frac{d^{2}Q}{d{\theta }^2}=-{\alpha }^{2}Q$

onde ${\alpha }^2$ é uma constante. Usando a substituição

$\tilde{r}\leftarrow \left(\omega \sqrt{\frac{{\rho }_0}{\kappa }}\right)r=kr$

nós temos

${\tilde{r}}^2\frac{d^{2}R}{d{\tilde{r}}^2}+\tilde{r}\frac{dR}{d\tilde{r}}+({\tilde{r}}^2-{\alpha }^2)R=0;\frac{d^{2}Q}{d{\theta }^2}=-{\alpha }^{2}Q$

A equação a esquerda é uma Equação de Bessel, que tem a solução geral

$R(r)=A_{\alpha }{J}_{\alpha }(kr)+B_{\alpha }{J}_{-\alpha }(kr)$

onde $J_{\alpha }$ é a função de Bessel cilíndrica de primeiro tipo e $A_{\alpha },B_{\alpha }$ são constantes indeterminadas. A equação a direita possui a solução geral

$Q(\theta )=C_{\alpha }{e}^{i\alpha \theta }+D_{\alpha }{e}^{-i\alpha \theta }$

onde $C_{\alpha },D_{\alpha }$ são constantes indeterminadas. Então a solução para a equação de onda acústica é

$p(r,\theta )=[A_{\alpha }{J}_{\alpha }(kr)+B_{\alpha }{J}_{-\alpha }(kr)](C_{\alpha }{e}^{i\alpha \theta }+D_{\alpha }{e}^{-i\alpha \theta })$

Condições de limite são necessárias neste estágio para determinar $\alpha$ e as outras constantes indeterminadas.

Veja também

• Atenuação acústica
• Aeroacústica
• Função de transferência
• Som
• Impedância acústica
• Lei geral dos gases
• Frequência
• Análise de Fourier
• Teoria musical
• Voz humana
• Forma de onda
• Síntese de fala