Limites de integração

Os limites de integração são $a=1$ e $b=4$, logo, $(-4^{-1})-(-1^{-1})=\frac{3}{4}$.

Na análise matemática e no cálculo, os limites de integração da integral de uma função integrável de Riemann $f$ definida em um intervalo fechado e limitada são os números reais $a$ e $b$.

Fórmula de Newton-Leibniz

Pela fórmula de Newton-Leibniz, $F(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Exemplo

A função $f(x)=x^3$ limitada no intervalo $[2,4]$, ou seja com os limites da integração sendo $2$ e $4$.

$\underset{2}{\overset{4}{\int }}{x}^{3}dx=\frac{4^4}{4}-\frac{2^4}{4}=64-4=60$

Em uma mudança de variável

Seja $f(x)$ uma função contínua no intervalo $a\le x\le b$ e $u=\phi (x)$ uma função contínua em $\alpha \le u\le \beta$, onde $\alpha =\phi (a)$ e $\beta =\phi (b)$ e $f(\phi (x))$ é definida e contínua no intervalo $\alpha \le u\le \beta$, então

$F(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(u)du$

Exemplo

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}2x\cos (x^2)dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\cos (u)du$

onde $u=x^2$ e $du=2xdx$. Portanto, $\phi (0)=0^2=0$ e $\phi (2)=2^2=4$. Daí, os novos limites de integração são $0$ e $4$.

O mesmo se aplica a outras substituições.

Integrais impróprias

A integral é imprópria, pois $a=0$ e $F(x)=-x^{-1}$ é indefinida nesse ponto.

Limites de integração também podem ser definidos para integrais impróprias, com os limites de integração de ambos

$\underset{z\to a^{+}}{\lim }\underset{z}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ e $\underset{z\to b^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{z}{\int }}f(x)dx$

novamente sendo $a$ e $b$. Para uma integral imprópria

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ ou $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

os limites da integração são $a$ e $\mathrm{\infty }$, ou $-\mathrm{\infty }$ e $b$, respectivamente.

Integrais Definidas

Se $c\in (a,b)$, então

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$. Predefinição:Referências Predefinição:Portal3 Predefinição:Esboço-matemática