Campo vetorial de Beltrami

No cálculo vetorial, um campo vetorial de Beltrami, nomeado em homenagem a Eugenio Beltrami, é um campo vetorial de três dimensões que é paralelo ao seu próprio rotacional. Ou seja, $\overrightarrow{F}$ é um campo vetorial de Beltrami se:

$\overrightarrow{F}\times (\overrightarrow{▽}\times \overrightarrow{F})=0$

Portanto, $\overrightarrow{F}$ e $(\overrightarrow{▽}\times \overrightarrow{F})$ são paralelos, sendo $(\overrightarrow{▽}\times \overrightarrow{F})=\lambda \overrightarrow{F}$.

Se $\overrightarrow{F}$for solenoidal, ou seja, $\overrightarrow{▽}\cdot \overrightarrow{F}=0$ , como um fluido incompressível, a identidade $\overrightarrow{F}\times (\overrightarrow{▽}\times \overrightarrow{F})\equiv -{▽}^2\overrightarrow{F}+▽(▽\cdot \overrightarrow{F})$ se torna $▽\times (▽\times \overrightarrow{F})\equiv -{▽}^2\overrightarrow{F}$ o que nos leva a dizer que:

$-{▽}^2\overrightarrow{F}=▽\times (\lambda \overrightarrow{F})$

e se assumirmos que $\lambda$ é uma constante, nós chegamos na simples fórmula:

${▽}^2\overrightarrow{F}=-{\lambda }^2\overrightarrow{F}$

O campo vetorial de Beltrami com um rotacional não nulo, corresponde a formulas Euclidianas de Contato em três dimensões.

O campo vetorial

$\overrightarrow{F}=-z/\surd (1+z^2)i+1/\surd (1+z^2)j$

é um múltiplo da estrutura padrão de contato $-zi+j$, e provém um exemplo de um campo vetorial de Beltrami.