Matriz de Cauchy

Em matemática, uma matriz de Cauchy, nomeada em homenagem a Augustin-Louis Cauchy, é uma matriz $m \times n$ com elementos $a_{i j}$ na forma

a_{i j} = \frac{1}{x_{i} - y_{j}}; x_{i} - y_{j} \neq 0, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n

onde $x_{i}$ e $y_{j}$ são elementos de um campo $ℱ$ , e $(x_{i})$ e $(y_{j})$ são sequências injetivas (contêm elementos distintos).

A matriz de Hilbert é um caso especial da matriz de Cauchy, onde

x_{i} - y_{j} = i + j - 1 .

Cada submatriz de uma matriz de Cauchy é ela própria uma matriz de Cauchy.

Determinantes de Cauchy

O determinante de uma matriz de Cauchy é claramente uma fração racional nos parâmetros $(x_{i})$ e $(y_{j})$ . Se as sequências não fossem injetivas, o determinante desapareceria, e tende ao infinito se algum $x_{i}$ tende a $y_{j}$ . Um subconjunto de seus zeros e pólos é assim conhecido. O fato é que não há mais zeros e pólos:

O determinante de uma matriz $𝐀$ de Cauchy quadrada é conhecido como um determinante de Cauchy e pode ser fornecido explicitamente como

\det 𝐀 = \frac{\prod_{i = 2}^{n} \prod_{j = 1}^{i - 1} (x_{i} - x_{j}) (y_{j} - y_{i})}{\prod_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{n} (x_{i} - y_{j})}

(Schechter 1959, eqn 4; Cauchy 1841, p. 154, eqn. 10).

É sempre diferente de zero e, portanto, todas as matrizes quadradas de Cauchy são invertíveis. O inverso $𝐀^{- 1} = 𝐁 = [b_{i j}]$ é dado por

b_{i j} = (x_{j} - y_{i}) A_{j} (y_{i}) B_{i} (x_{j})

(Schechter 1959, Teorema 1)

onde $A_{i} (x)$ e $B_{i} (x)$ são os polinômios de Lagrange para $(x_{i})$ e $(y_{j})$ , respectivamente. Isso é,

A_{i} (x) = \frac{A (x)}{A^{'} (x_{i}) (x - x_{i})} e B_{i} (x) = \frac{B (x)}{B^{'} (y_{i}) (x - y_{i})},

com

A (x) = \prod_{i = 1}^{n} (x - x_{i}) e B (x) = \prod_{i = 1}^{n} (x - y_{i}) .

Generalização

Uma matriz $𝐂$ é chamada de tipo Cauchy se tiver a forma

C_{i j} = \frac{r_{i} s_{j}}{x_{i} - y_{j}} .

Definindo $X = d i a g (x_{i})$ , $Y = d i a g (y_{i})$ , vê-se que ambas as matrizes de Cauchy e do tipo Cauchy satisfazem a equação de deslocamento

𝐗 𝐂 - 𝐂 𝐘 = r s^{T}

(com $r = s = (1, 1, \dots, 1)$ para a de Cauchy). Portanto, as matrizes do tipo Cauchy têm uma estrutura de deslocamento comum, que pode ser explorada durante o trabalho com a matriz. Por exemplo, existem algoritmos conhecidos na literatura para

multiplicação aproximada do vetor-matriz de Cauchy com $O (n \log n)$ ops (e.g. o método multipolar rápido),
(pivotado) Fatoração LU com $O (n^{2})$ ops (algoritmo GKO) e, portanto, solução de sistema linear,
algoritmos aproximados ou instáveis para solução de sistema linear em $O (n \log^{2} n)$ .

Aqui $n$ denota o tamanho da matriz (geralmente se trata de matrizes quadradas, embora todos os algoritmos possam ser facilmente generalizados para matrizes retangulares).

Referências

Predefinição:Classes de matriz Predefinição:Portal3

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