Transformação de séries de Kummer

Em matemática, especificamente na área da análise numérica, a transformação de séries de Kummer é um método usado para acelerar a convergência de uma série infinita. O método foi inicialmente sugerido por Ernst Kummer em 1837.

Seja

$A=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

uma soma infinita cujo valor deseja-se determinar, e

$B=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$

uma soma infinita com termos comparáveis cujo valor é conhecido. Se

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\gamma \ne 0$

então A é mais facilmente determinado como

$A=\gamma B+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\gamma \frac{b_n}{a_n})a_n=\gamma B+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n-\gamma b_n.$

Exemplo

O método é aplicado para acelerar a fórmula de Leibniz para π:

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\frac{\pi }{4}.$

Primeiro são agrupados termos em pares como

$1-(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})-(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})+\cdots$

$=1-2(\frac{1}{15}+\frac{1}{63}+\cdots )=1-2A$

onde

$A=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16n^2-1}.$

Com

$B=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\cdots$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\cdots$

que é uma soma telescópica com resultado Predefinição:Frac. Neste caso

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{1}{16n^2-1}}{\frac{1}{4n^2-1}}=\frac{4n^2-1}{16n^2-1}=\frac{1}{4}$

e a transformação de Kummer fornece

$A=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{4}\frac{\frac{1}{4n^2-1}}{\frac{1}{16n^2-1}})\frac{1}{16n^2-1}.$

Esta é simplificada como

$A=\frac{1}{8}-\frac{3}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(16n^2-1)(4n^2-1)}$

que converge muito mais rapidamente que a série original.

Referências

• Predefinição:SpringerEOM
• Predefinição:Cite book
• Predefinição:Cite web
• Predefinição:Cite journal

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld