Constante Omega

A constante ômega é uma constante matemática definida como o único número real que satisfaz a equação

$\mathrm{\Omega }{e}^{\mathrm{\Omega }}=1.$

Onde Predefinição:Math é o valor de Predefinição:Math, e Predefinição:Mvar é [[Função W de Lambert|a função Predefinição:Mvar de Lambert]] . O nome é ômega vem da alternativa para a função Predefinição:Mvar de Lambert, chamada também de função ômega . O valor numérico de Predefinição:Math é dado por

Predefinição:Math

Predefinição:Math

Propriedades

Representação de ponto fixo

A identidade definidora pode ser expressa, por exemplo, como

$\ln (\frac{1}{\mathrm{\Omega }})=\mathrm{\Omega }.$

ou

$-\ln (\mathrm{\Omega })=\mathrm{\Omega }$

ou

$e^{-\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega }.$

Computação

Pode-se calcular Predefinição:Math iterativamente, começando com uma estimativa inicial Predefinição:Math, e considerando a sequência

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=e^{-{\mathrm{\Omega }}_n}.$

Esta sequência irá convergir para Predefinição:Math conforme Predefinição:Mvar aproxima do infinito. Isso ocorre porque Predefinição:Math é um ponto fixo atraente da função Predefinição:Math .

É muito mais eficiente usar a iteração

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=\frac{1+{\mathrm{\Omega }}_n}{1+e^{{\mathrm{\Omega }}_n}},$

porque a função

$f(x)=\frac{1+x}{1+e^x},$

além de ter o mesmo ponto fixo, também tem uma derivada que aí desaparece. Isso garante convergência quadrática; ou seja, o número de dígitos corretos é praticamente duplicado a cada iteração.

Usando o método de Halley, Predefinição:Math pode ser aproximado com convergência cúbica (o número de dígitos corretos é aproximadamente triplicado com cada iteração): (ver também Predefinição:Link para secção ).

${\mathrm{\Omega }}_{j+1}={\mathrm{\Omega }}_j-\frac{{\mathrm{\Omega }}_j{e}^{{\mathrm{\Omega }}_j}-1}{e^{{\mathrm{\Omega }}_j}({\mathrm{\Omega }}_j+1)-\frac{({\mathrm{\Omega }}_j+2)({\mathrm{\Omega }}_j{e}^{{\mathrm{\Omega }}_j}-1)}{2{\mathrm{\Omega }}_j+2}}.$

Representações integrais

Uma identidade devida a Victor Adamchik  é dada pela relação

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{(e^t-t{)}^2+{\pi }^2}=\frac{1}{1+\mathrm{\Omega }}.$

Outras relações devidas a I. Mező são

$\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\pi }\mathrm{Re}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\log \left(\frac{e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}\right)dt,$

$\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\log (1+\frac{\sin t}{t}{e}^{t\cot t})dt.$

As duas últimas identidades podem ser estendidas a outros valores da Predefinição:Mvar (ver também a Predefinição:Link para secção ).

Transcendência

A constante Predefinição:Math é transcendental . Isso pode ser visto como uma consequência direta do teorema de Lindemann-Weierstrass . Para uma contradição, suponha que Predefinição:Math seja algébrico. Pelo teorema, Predefinição:Math é transcendental, mas Predefinição:Math, o que é uma contradição. Portanto, deve ser transcendental. Predefinição:Referências

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld
• Predefinição:Citation