Teorema de Midy

Predefinição:Sistemas numéricos Em matemática, o teorema de Midy, em homenagem ao matemático francês E. Midy, é uma declaração sobre a expansão decimal das frações a/p onde p é primo e a/p tem uma expansão decimal periódica com um período par (sequência A028416 no OEIS). Se o período da representação decimal de a/p é 2n, de modo que

$\frac{a}{p}=0.\overline{a_1{a}_2{a}_3\dots a_n{a}_{n+1}\dots a_{2n}}$

então os dígitos na segunda metade do período decimal periódico são o complemento de 9s dos dígitos correspondentes em sua primeira metade. Em outras palavras,

$a_i+a_{i+n}=9$

$a_1\dots a_n+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^n-1.$

Por exemplo,

$\frac{1}{13}=0.\overline{076923}\text{ e }076+923=999.$

$\frac{1}{17}=0.\overline{0588235294117647}\text{ e }05882352+94117647=99999999.$

Teorema de Midy estendido

Se k é qualquer divisor do período da expansão decimal de a/p (onde p é novamente um primo), então o teorema de Midy pode ser generalizado como segue. O teorema de Midy estendido afirma que se a porção repetida da expansão decimal de a/p é dividida em números de k dígitos, então sua soma é um múltiplo de10^k − 1.

Por exemplo,

$\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421}$

tem um período de 18. Dividindo a parte repetida em números de 6 dígitos e somando-os dá

$052631+578947+368421=999999.$

Da mesma forma, dividir a parte repetida em números de 3 dígitos e somá-los dá

$052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.$

Teorema de Midy em outras bases

O teorema de Midy e sua extensão não dependem de propriedades especiais da expansão decimal, mas funcionam igualmente bem em qualquer base b, desde que substituamos 10^k − 1 com b^k − 1 e realizar a adição na base b.

Por exemplo, em octal

$\begin{array}{cc}& \frac{1}{19}=0.{\overline{032745}}_8\\ & 032_8+745_8=777_8\\ & 03_8+27_8+45_8=77_8.\end{array}$

Em duodecimal (usando dois e três invertidos para dez e onze, respectivamente)

$\begin{array}{cc}& \frac{1}{19}=0.{\overline{076ℰ45}}_{12}\\ & 076_{12}+ℰ45_{12}={ℰℰℰ}_{12}\\ & 07_{12}+6{ℰ}_{12}+45_{12}={ℰℰ}_{12}\end{array}$

Prova do teorema de Midy

Pequenas provas do teorema de Midy podem ser dadas usando resultados da teoria dos grupos. No entanto, também é possível provar o teorema de Midy usando álgebra elementar e aritmética modular:

Seja p um primo e a/p uma fração entre 0 e 1. Suponha que a expansão de a/p na base b tenha um período de ℓ, então

$\begin{array}{cc}& \frac{a}{p}=[0.\overline{a_1{a}_2\dots a_{\ell }}{]}_b\\ & \Rightarrow \frac{a}{p}{b}^{\ell }=[a_1{a}_2\dots a_{\ell }.\overline{a_1{a}_2\dots a_{\ell }}{]}_b\\ & \Rightarrow \frac{a}{p}{b}^{\ell }=N+[0.\overline{a_1{a}_2\dots a_{\ell }}{]}_b=N+\frac{a}{p}\\ & \Rightarrow \frac{a}{p}=\frac{N}{b^{\ell }-1}\end{array}$

onde N é o inteiro cuja expansão na base b é a sequência a₁a₂...a_ℓ.

Note que b ^ℓ − 1 é um múltiplo de p porque (b ^ℓ − 1)a/p é um número inteiro. Também bⁿ−1 não é um múltiplo de p para qualquer valor de n menor que ℓ, porque senão o período de repetição de a/p na base b seria menor que ℓ.

Agora suponha que ℓ = hk. Então b ^ℓ − 1 é um múltiplo de b^k − 1. (Para ver isso, substitua x por b^k; em seguida b^ℓ = x^h e x − 1é um fator de x^h − 1. ) Digamos b ^ℓ − 1 = m(b^k − 1), então

$\frac{a}{p}=\frac{N}{m(b^k-1)}.$

Mas b ^ℓ − 1 é um múltiplo de p; b^k − 1 não é um múltiplo de p (porque k é menor que ℓ ); e p é um primo; então m deve ser um múltiplo de p e

$\frac{am}{p}=\frac{N}{b^k-1}$

é um número inteiro. Em outras palavras,

$N\equiv 0(\mathrm{mod}{b}^k-1).$

Agora divida a sequência a₁a₂...a_ℓ em h partes iguais de comprimento k, e que elas representem os inteiros N₀...N_h − 1 na base b, de modo que

$\begin{array}{cc}{N}_{h-1}& =[a_1\dots a_k{]}_b\\ N_{h-2}& =[a_{k+1}\dots a_{2k}{]}_b\\ & ⋮\\ N_0& =[a_{l-k+1}\dots a_l{]}_b\end{array}$

Para provar o teorema estendido de Midy na base b devemos mostrar que a soma dos h inteiros N_i é um múltiplo de b^k − 1.

Desde que b^k é congruente a 1 módulo b^k − 1, qualquer potência de b^k também será congruente a 1 módulo b^k − 1. Então

$N=\sum _{i=0}^{h-1}{N}_i{b}^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}{N}_i(b^k{)}^i$

$\Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}{N}_i(\mathrm{mod}{b}^k-1)$

$\Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}{N}_i\equiv 0(\mathrm{mod}{b}^k-1)$

o que prova o teorema estendido de Midy na base b.

Para provar o teorema de Midy original, tome o caso especial onde h = 2. Observe que N₀ e N₁ são ambos representados por strings de k dígitos na base b, então ambos satisfazem

$0\le N_i\le b^k-1.$

ambos N₀ e N₁ não podem ser iguais a 0 (caso contrário a/p = 0) e não podem ser iguais b^k − 1 (senão a/p = 1), então

$0<N_0+N_1<2(b^k-1)$

e desde que N₀ + N₁ é um múltiplo de b^k − 1, segue que

$N_0+N_1=b^k-1.$

Corolário

Do exposto,

$\frac{am}{p}$ é um número inteiro

Por conseguinte $m\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

E assim para $k=\frac{\ell }{2}$

$b^{\ell /2}+1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

Para $k=\frac{\ell }{3}$ e é um inteiro

$b^{2\ell /3}+b^{\ell /3}+1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

e assim por diante.