Número de Lelong

Em matemática, o número de Lelong é um invariante de um ponto de uma variedade analítica complexa que, em certo sentido, mede a densidade local naquele ponto. Foi introduzido por Lelong (1957). Mais geralmente, uma corrente positiva fechada (p,p) u em uma variedade complexa tem um número de Lelong n(u,x) para cada ponto x da variedade. Da mesma forma, uma função plurissubharmônica também possui um número de Lelong em um ponto.

Os números de Lelong são particularmente importantes para as chamadas funções plurissubharmônicas $\phi$, indo como um fluxo de conjuntos $\mathrm{\Theta }=\frac{i}{\pi }\partial \bar{\partial }\phi$, de modo que a curvatura da métrica singular $\phi$ associada a $h=e^{-2\phi }$ considerada.

Definições

O número de Lelong de uma função plurissubharmônica φ em um ponto x def Cⁿ é

$\underset{z\to x}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{\varphi (z)}{\log |z-x|}.$

Para um ponto x de um subconjunto analítico A de dimensão k pura,o número Lelong ν(A,x) é o limite da razão entre as áreas de A ∩ B(r,x) e uma bola de raio r em C^k as the radius tends to zero. (Aqui B(r,x) é uma bola de raio r centrada em x.) Em outras palavras, o número de Lelong é uma espécie de medida da densidade local de A próximo a x. Se x não estiver na subvariedade A, o número de Lelong será 0, e se x for um ponto regular, o número de Lelong será 1. Pode-se provar que o número de Lelong ν(A,x) é sempre um número inteiro.

Também se $\mathrm{\Theta }$ for uma corrente positiva fechada com bidimensionalidade $(p,p)$ em um ambiente coordenado $\mathrm{\Omega }={ℂ}^n$. Definimos o funcional

${\sigma }_{\mathrm{\Theta }}=\mathrm{\Theta }\wedge \frac{1}{p!}(\frac{\pi }{i}\partial \bar{\partial }|z{|}^2{)}^p$

onde $\wedge$ denota o mínimo.

Em seguida, define-se o número de Lelong $\mathrm{\Theta }$ em pontos $x\in \mathrm{\Omega }$ como o valor

$\nu (\mathrm{\Theta },x):=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\nu (\mathrm{\Theta },x,r):=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\sigma }_{\mathrm{\Theta }}(B(x,r))}{{\pi }^p{r}^{2p}/p!}$.

com $E_c(\mathrm{\Theta }):=\{x\in X\mid \nu (\mathrm{\Theta },x)\ge c\}$ é o conjunto de nível de $\mathrm{\Theta }$ definido para o nível $c\in [0,\mathrm{\infty }]$.

Ver também

• Teoria dos invariantes