Arbelos

Um arbelos (região cinza)

Escultura de Arbelos em Kaatsheuvel, Holanda

Em geometria, um arbelos é uma região plana delimitada por três semicírculos com três vértices, de modo que cada canto de cada semicírculo é compartilhado com um dos outros (conectado), todos do mesmo lado de uma linha reta (a linha de base ) que contém seus diâmetros.

A mais antiga referência conhecida a esta figura está no Livro de Lemmas de Arquimedes, onde algumas de suas propriedades matemáticas são declaradas como Proposições 4 a 8. A palavra arbelos é grega para 'faca de sapateiro'. A figura está intimamente relacionada com a Corrente de Papo.

Propriedades

Dois dos semicírculos são necessariamente côncavos, com diâmetros arbitrários Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar ; o terceiro semicírculo é convexo, com diâmetro Predefinição:Mvar

Alguns pontos especiais nos arbelos.

Área

A área do arbelos é igual à área de um círculo de diâmetro Predefinição:Overline.

Prova: para a prova, reflita o arbelos sobre a linha através dos pontos Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar, observando que duas vezes a área do arbelos é o que sobra quando as áreas dos dois círculos menores (com diâmetros Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar) são subtraídos da área do círculo maior (com diâmetro Predefinição:Mvar). Já que á área do círculo é proporcional ao quadrado do diâmetro (Elementos de Euclides, Livro XII, Proposição 2; não precisamos saber que a constante de proporcionalidade é Predefinição:Math), o problema se reduz a mostrar que $2|AH{|}^2=|BC{|}^2-|AC{|}^2-|B{|}^2$. O comprimento Predefinição:Mvar é igual à soma dos comprimentos Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar, logo a equação se simplifica para $|AH{|}^2=|BA||AC|$. Logo, podemos afirmar que o comprimento do segmento Predefinição:Mvar é a média geométrica dos comprimentos dos segmentos Predefinição:Mvar and Predefinição:Mvar. Agora (ver figura abaixo) o triângulo Predefinição:Mvar, sendo inscrito ao semicírculo, tem um ângulo reto no ponto Predefinição:Mvar (Elementos, Livro III, Proposição 31), e consequentemente Predefinição:Mvar é de fato uma "média proporcional" entre Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar (Elementos, Livro VI, Proposição 8, Porisma). Esta prova aproxima o antigo argumento grego; Harold P. Boas cita um artigo de Roger B. Nelsen que implementou a ideia como uma prova visual.

Retângulo

Sejam Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar os pontos onde os segmentos Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar interceptam os semicírculos Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar, respectivamente. O quadrilátero Predefinição:Mvar é na verdade um retângulo .

Prova : Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar, e Predefinição:Mvar são ângulos retos porque estão inscritos em semicírculos (pelo teorema de Tales). O quadrilátero Predefinição:Mvar portanto, tem três ângulos retos, portanto é um retângulo. QED

Tangentes

A linha Predefinição:Mvar é tangente ao semicírculo Predefinição:Mvar em Predefinição:Mvar e ao semicírculo Predefinição:Mvar em Predefinição:Mvar .

Prova : Como Predefinição:Mvar é um ângulo reto, Predefinição:Mvar é igual a Predefinição:Math menos Predefinição:Mvar. Contudo, Predefinição:Mvar é igual a Predefinição:Math menos Predefinição:Mvar (já que Predefinição:Mvar é um ângulo reto). Logo, os triângulos Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar são similares. Com isso, Predefinição:Mvar é igual a Predefinição:Mvar, onde Predefinição:Mvar é o ponto médio de Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar é o ponto médio de Predefinição:Mvar. Mas Predefinição:Mvar é uma linha reta, então Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar são ângulos suplementares. Portanto a soma de Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar é π. Predefinição:Mvar é um ângulo reto. A soma dos ângulos em qualquer quadrilátero é 2π, então no quadrilátero Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar deve ser um ângulo reto. Mas Predefinição:Mvar é um retângulo, então o ponto médio Predefinição:Mvar de Predefinição:Mvar (a diagonal do retângulo) também é o ponto médio de Predefinição:Mvar (a outra diagonal do retângulo). Como Predefinição:Mvar (definido como o ponto médio de Predefinição:Mvar) é o centro do semicírculo Predefinição:Mvar, e o ângulo Predefinição:Mvar é um ângulo reto, então Predefinição:Mvar é tangente ao semicírculo Predefinição:Mvar em Predefinição:Mvar. Por raciocínio análogo, Predefinição:Mvar é tangente ao semicírculo Predefinição:Mvar em Predefinição:Mvar. Q.E.D.

Círculos de arquimedes

A altitude Predefinição:Mvar divide os arbelos em duas regiões, cada uma limitada por um semicírculo, um segmento de linha reta e um arco do semicírculo externo. Os círculos inscritos em cada uma dessas regiões, conhecidos como círculos de Arquimedes dos arbelos, têm o mesmo tamanho.

Variações e generalizações

Exemplo de um f -belos

O parbelos é uma figura semelhante ao arbelos, que usa segmentos de parábola em vez de semicírculos. Uma generalização que compreende arbelos e parbelos é o f -belos, que usa um certo tipo de funções diferenciáveis semelhantes.

No modelo de meio plano de Poincaré do plano hiperbólico, um arbelos modela um triângulo ideal .

Etimologia

O tipo de faca de sapateiro que deu nome à figura

O nome arbelos vem do grego ἡ ἄρβηλος he árbēlos ou ἄρβυλος árbylos, que significa "faca de sapateiro", uma faca usada por sapateiros desde a antiguidade até os dias atuais, cuja lâmina se diz assemelhar-se à figura geométrica.

Ver também

• Quádruplos de Arquimedes
• Círculo de bancarrota
• Círculos de Schoch
• Linha Schoch
• Círculos Woo
• Cadeia de Papo
• Salinon

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar periódico American Mathematical Monthly, 120 (2013), 929-935.
• Predefinição:Citar livro

Ligações Externas

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