Cancelamento indevido

Predefinição:Descrição curta Predefinição:Imageframe Um cancelamento indevido ou cancelamento acidental é um tipo particular de erro processual aritmético que fornece uma resposta numericamente correta. É feita uma tentativa de reduzir uma fração cancelando algarismos individuais no numerador e no denominador. Esta não é uma operação legítima e, em geral, não fornece uma resposta correta, mas em alguns casos raros o resultado é numericamente o mesmo como se um procedimento correto tivesse sido aplicado. Os casos triviais de cancelamento de zeros à direita ou onde todos os algarismos são iguais são ignorados.

Exemplos de cancelamentos indevidos que ainda produzem o resultado correto incluem (esses e seus inversos são todos os casos na base 10 com a fração diferente de 1 e com dois algarismos):

O artigo por Boas analisa casos em bases diferentes da base 10, por exemplo, Predefinição:Nowrap e seu inverso são as únicas soluções na base quatro com dois algarismos.

O cancelamento indevido pode ocorrer com mais algarismos, como, por exemplo, Predefinição:Nowrap, e até mesmo com diferentes quantidades de algarismos (Predefinição:Nowrap).

Propriedades elementares

Quando a base é um número primo, não há nenhuma solução com dois algarismos. Isso pode ser provado por absurdo: suponha que haja uma solução. Sem perda de generalidade, podemos dizer que essa solução é

$\frac{a||b}{c||a}=\frac{b}{c},\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}p,$

em que a dupla barra vertical indica concatenação dos algarismos. Deste modo temos

$\frac{ap+b}{cp+a}=\frac{b}{c}⟹(a-b)cp=b(a-c).$

Mas $p>a,b,a-c$, como eles são algarismos na base $p$; além disso, $p$ divide $b(a-c)$, como $p$ é primo e $p>b$, então $p|(a-c)$, logo $a=c$. Portanto $b(a-c)=0$, o que implica que $(a-b)cp=0$, ou seja, $a=b$, o que é um absurdo pelas definições do problema. (se $a=b$, então o cálculo se torna $\frac{a||a}{c||a}=\frac{a}{c}⟹\frac{a||a}{a||a}=\frac{a}{a}=1$, que é um dos casos triviais excluídos.)

Outra propriedade é que o número de soluções na base $n$ é ímpar se e somente se $n$ é o quadrado de um número par. Isso pode ser provado de forma similar à anterior: suponha que tenhamos a solução

$\frac{a||b}{c||a}=\frac{b}{c}.$

Então, fazendo a mesma manipulação, nós temos

$\frac{an+b}{cn+a}=\frac{b}{c}⟹(a-b)cn=b(a-c)$

Suponha que $a>b,c$. Note que $a,b,c\to a,a-c,a-b$ também é solução para a equação. Isso quase configura uma involução do conjunto de soluções para si mesmo. Mas podemos também substituir para obter $(a-b)(a-b)n=b(a-(a-b))⟹(a-b{)}^{2}n=b^2$, que só tem soluções se $n$ é quadrado. Seja $n=k^2$. Tirando a raiz quadrado temos $(a-b)k=b⟹ak=(k+1)b$. Já que o máximo divisor comum de $k,(k+1)$ é um, sabemos que $a=(k+1)x,b=kx$. Sabendo que $a,b<k^2$, então as soluções são $x=1,2,3,\dots ,k-1$, isto é, tem um número impar de soluções quando $n=k^2$ é um quadrado par. A recíproca da afirmação pode ser provada notando que todas essas soluções satisfazem a requisição inicial.

Ver também

• Falácia matemática