Teorema de Burlet

O teorema de Burlet é um resultado na geometria euclidiana, que pode ser formulado da seguinte maneira:

O Teorema de Burlet nos dá a área em função dos segmentos em que o círculo interno divide um lado e meio do ângulo oposto.

Uma prova formal do teorema é assim demonstrada:

$S=cotg(\frac{a}{2})\times m\times n$

$S_{abc}=m\times n\times cotg(\frac{a}{2})$

Seja $DI=DJ=r$ sabemos que $DiC=\frac{\pi }{2}$ e que $IbD=\frac{a}{2}$ pois $D$ é incentro.

Note que $BI=BJ$ usando um pouco de trigonometria temos:

$\frac{r}{BI}=tg(\frac{a}{2})$

$BI=BJ=r\times cotg(\frac{a}{2})$

Note também que o perímetro desse triangulo é $2p=2BI+2AE+2JC$ tal que

$p=BI+AE+JC$

$p=m+n+r\times cotg(\frac{a}{2})$

Pelo teorema da circunferência inscrita temos:

$r\times cotg(\frac{a}{2})=p-AC$

$m=p-BC$

$n=p-AB$

Sabemos que $S=pr$ e que $S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$

Substituindo os valores na primeira segunda equação:

$S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$

$S=\sqrt{p(r\times cotg(\frac{a}{2})\times m\times n})$

Elevando ao quadrado

$S^2=pr\times cotg(\frac{a}{2})\times m\times n$ repare que $S=pr$

$S^2=S\times cotg(\frac{a}{2})\times m\times n$

assim, $S=cotg(\frac{a}{2})*m*n$

CASO ESPECIAL se $a=\frac{\pi }{2}$, $S=mn$