Acarretamento

Em lógica, o acarretamento (ou implicação lógica ou consequência semântica) é uma relação entre sentenças de uma linguagem formal de tal forma que se $\mathrm{\Gamma }$ é um conjunto de sentenças e se $\mathit{\alpha }$ é uma sentença, então podemos concluir que a sentença $\mathit{\alpha }$ é verdadeira desde que todas as sentenças em $\mathrm{\Gamma }$ o sejam.

Em símbolos,

$\mathrm{\Gamma }\models \mathit{\alpha }$

significa que o conjunto de sentenças de $\mathrm{\Gamma }$ acarreta, ou tem como consequência semântica, a sentença $\mathit{\alpha }$. Note que o acarretamento é uma relação semântica.

Tome como exemplo as seguintes sentenças:

(a) Dexter é americano.
(b) Dexter é um assassino.
(c) Dexter é um assassino americano.

Se as afirmações (a) e (b) são verdadeiras, nós sabemos que (c) é verdadeira. Podemos dizer que:

(a) , (b) $\models$ (c)

(a) e (b) acarretam (c) porque a situação descrita por (c) segue da situação descrita por (a) e (b) juntas.

De uma forma mais técnica, podemos dizer que $\mathrm{\Gamma }$ acarreta $\mathit{\alpha }$ se para toda atribuição de valores verdade P tal que ${𝒱}_P(\beta )=1$ para toda proposição $\beta \in \mathrm{\Gamma }$, então ${𝒱}_P(\alpha )=1$.

Exemplo 1

$\alpha ,\alpha \to \beta \models \beta$

De fato, ${𝒱}_P(\alpha \to \beta )=0$ se , e somente se, ${𝒱}_P(\alpha )=1$ e ${𝒱}_P(\beta )=0$. Portanto, se ${𝒱}_P(\alpha \to \beta )=1$ e ${𝒱}_P(\alpha )=1$, então necessariamente ${𝒱}_P(\beta )=1$. Assim, dizemos que o conjunto de sentenças { $\alpha ,\alpha \to \beta$ } acarreta a sentença $\mathit{\beta }$.

Exemplo 2

Tome $A=\{\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }y:x=y\}$ e $B=\{\mathrm{\exists }x:x=x\}$. Então A não acarreta B, uma vez que um domínio vazio é um modelo de A mas não é um modelo de B. Ou seja, não é o caso que todos os modelos de A são modelos de B.

Relação entre acarretamento e dedução

Idealmente, acarretamento e dedução são extensionalmente equivalentes. Contudo, isso não é sempre o caso.

Um sistema dedutivo S é completo para a linguagem L se e somente se $A{\models }_{L}X$ implica $A{⊢}_{S}X$: isto é, se todos os argumentos válidos são dedutíveis (ou prováveis) onde ${⊢}_S$ denota a relação de deducibilidade para o sistema S.

Um sistema dedutivo S é correto para uma linguagem L se e somente se $A{⊢}_{S}X$ implica $A{\models }_{L}X$: isto é, se argumentos não-inválidos são prováveis.

Relação com condição lógica

Em alguns casos, acarretamento corresponde à condição lógica (denotado por $\supset$) da seguinte forma: na lógica clássica, $A\models B$ se e somente se existem alguns subconjuntos finitos $\{A_1,\dots ,A_n\}$ de A e $\{B_1,\dots ,B_m\}$ de B onde $\varnothing \models A_1\wedge \dots \wedge A_n\supset B_1\vee \dots \vee B_m$.

Bibliografia

• Bedregal, Benjamín René Callejas, e Acióly, Benedito Melo (2007), Lógica para a Ciência da Computação, Versão Preliminar, Natal, RN.