Axioma da extensão

O axioma da extensão, também chamado axioma da extensionalidade ou ainda axioma da unicidade, cumpre, na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o papel de estabelecer como as relações de pertinência ($\in$) e igualdade de conjuntos ($=$) estão relacionadas. O seu enunciado diz:

Se dois conjuntos $x$ e $y$ são tais que todo elemento de $x$ é elemento de $y$ e todo elemento de $y$ é elemento de $x$, então $x$ e $y$ são iguais.

Na linguagem da lógica formal podemos enunciá-lo da seguinte forma:

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y(\mathrm{\forall }z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\to x=y).$

O conteúdo deste axioma é claro: um conjunto é completamente determinado pelos elementos que contêm. Alguns matemáticos dizem isso afirmando que um conjunto é determinado pela sua extensão o que é, talvez, não muito claro. O outro nome pelo qual o axioma é conhecido, axioma da unicidade, é mais sugestivo: não há dois conjuntos com exatamente os mesmos elementos.

Bart e Lisa têm os mesmos ancestrais, contudo Bart $\ne$ Lisa.

Pode parecer uma trivialidade formal exigir que se dois conjuntos têm os mesmos elementos então são iguais, mas não é tanto como parece. Halmos diz, em Teoria ingênua dos conjuntos, que é valioso compreender o axioma da extensão não apenas como uma propriedade lógica necessária de igualdade, mas também como uma proposição não-trivial sobre pertinência. Para esclarecer, sugere compararmos pertinência-igualdade de conjuntos com ancestralidade-igualdade de humanos, considerando seres humanos no lugar de conjuntos e colocando $x\in y$ sempre que $x$ for ancestral de $y$. É claro que neste caso o análogo do axioma da extensão não vale. Realmente, se Bart e Lisa são irmãos, têm então os mesmos ancestrais, contudo não são seres humanos iguais.

Em termos da inclusão de conjuntos ($\subset$) podemos ainda expressar o axioma da extensão como

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y((x\subset y\wedge y\subset x)\to x=y).$

Em palavras,

A inclusão de conjuntos é anti-simétrica.

A recíproca do axioma da extensão,

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y(x=y\to \mathrm{\forall }z(z\in x\leftrightarrow z\in y)),$

é evidentemente verdadeira e alguns autores referem-se a proposição completa

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y(\mathrm{\forall }z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\leftrightarrow x=y)$

como sendo o axioma da extensão. Historicamente isto não é correto mas, por outro lado, não há qualquer problema lógico em enunciar o axioma nesta forma; exceto que a implicação recíproca acrescentada não é, de fato, um axioma.

Ver também

• Extensionalidade

Referências

• Predefinição:Citar livro

Ligações externas

• Axiom ax-ext 2164 em Metamath Proof Explorer Predefinição:En
• Axiom of extensionality em Encyclopedia of Mathematics Predefinição:En
• Axiom of Extensionality em MathWorld Predefinição:En
• Axiom of Extension em ProofWiki Predefinição:En

Predefinição:Teoria dos conjuntos Predefinição:Portal3