Axioma da separação

Predefinição:Ver desambig O Axioma da separação (também conhecido como Axioma da compreensão ou Axioma de especificação) é um dos axiomas (ou, mais precisamente, um dos esquemas de axiomas) que fazem parte dos Axiomas de Zermelo-Fraenkel da Teoria dos Conjuntos.

Essencialmente, o axioma diz que se um conjunto A existe, e conseguimos descrever (através de uma propriedade) elementos deste conjunto, então existe um conjunto B, subconjunto de A, que contém estes elementos.

Este "axioma" é, a rigor, um esquema de axiomas, porque, para cada propriedade Φ, existe um "axioma da separação".

Axioma

A forma apresentada abaixo se deve a Kunen.

Se z é um conjunto e $\varphi$ é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém os elementos x de z e que possuem essa propriedade.

Formalmente: qualquer fórmula $\varphi$ na linguagem da ZFC com variáveis livres entre $x,z,w_1,\dots ,w_n$:

$\mathrm{\forall }z\mathrm{\forall }{w}_1\dots w_n\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }x(x\in y⟺(x\in z\wedge \varphi ))$

Notar que esse não é um axioma, mas um esquema de axiomas: para cada $\varphi$ temos um novo axioma.

φ deve ser uma fórmula bem formada

História

Na Teoria ingênua dos conjuntos, o esquema usado (implicitamente) era:

$\mathrm{\forall }{w}_1\dots w_n\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }x(x\in y⟺(\varphi ))$

Ou seja, qualquer fórmula define um conjunto.

Este esquema leva ao paradoxo de Russell e suas variantes, o que não acontece quando é imposta a restrição a elementos de z.

Exemplo

• A existência da interseção de conjuntos é garantida por este axioma. Formalmente, dados conjuntos y e z, e a propriedade $\varphi (x,y,z)=(x\in y)$, o axioma diz que existe um conjunto w tal que $x\in w⟺x\in z\wedge \varphi$

Ver também

Predefinição:Teoria dos conjuntos