Braquistócrona

Trajetória de uma partícula que se desloca ao longo de três trajetórias diferentes. A curva em vermelho é a braquistócrona.

Denomina-se braquistócrona a trajectória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note-se que a questão não é qual o percurso mais curto entre os dois pontos, cuja resposta nas condições dadas é a reta que os une, mas sim, qual trajectória é percorrida no menor tempo.

Etimologia

A palavra braquistócrona vem do grego brakhistós (o mais curto) e khrónos (tempo).

História

Citação «Que aquele que consiga solucionar este problema conquiste o prémio que prometemos. Este prémio não é ouro nem prata (...) mas antes as honras, os elogios e os aplausos; (...) exaltaremos, pública e privadamente, por palavra e por carta, a perspicácia do nosso grande Apollo.» Johann Bernoulli-proclamação de 1697

O problema começou por ser publicado na Acta Eruditorum de Leipzig, de Junho de 1696, onde Johann Bernoulli anunciava possuir uma solução e desafiava os cientistas para, num prazo de seis meses, fazerem o mesmo. Em Janeiro de 1697 publica uma nova proclamação anunciando que apenas Leibniz lhe comunicara ter chegado à solução, mas pedia um adiamento do prazo até à Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o que foi aceito.

Acabariam por ser apresentadas cinco soluções nas Actas de 1697: a do próprio, a do seu irmão Jacob, a de Leibniz, a de L'Hôpital e uma sob anonimato (que seria a de Isaac Newton, como este veio a reconhecer mais tarde).

Citação «Reconheço o leão pela sua garra.» Comentário atribuído a Johann Bernoulli referindo-se a Newton, a propósito da solução anónima apresentada

Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido de uma esfera (por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes alturas não é uma linha recta. Esse menor tempo é obtido se a bola percorrer uma linha em forma de ciclóide.

Demonstração por Bernoulli

Qual a mais rápida trajetória? Experimento no Museu Estadual da Técnica e Trabalho, Mannheim

Pelo Princípio de Fermat o caminho mais rápido entre dois pontos é o que segue um raio de luz. A curva Braquistócrona corresponderá assim ao trajeto seguido pela luz num meio em que a velocidade aumenta segundo uma aceleração constante (a força da gravidade g).

A lei da conservação de energia permite expressar a velocidade de um corpo submetido à atracção terrestre pela fórmula:

$v=\sqrt{2gh}$,

onde h representa a perda de altitude em relação ao ponto de partida. De notar que não depende do ponto de partida horizontal.

A lei da refracção indica que um raio luminoso ao longo da sua trajectória obedece à regra:

$\frac{sen\theta }{v}=K$,

onde $\theta$ representa o ângulo em relação à vertical e $K$ uma constante.

Inserindo nesta fórmula a expressão da velocidade acima, tiram-se de imediato duas conclusões:

1- No ponto de partida, visto que a velocidade é nula, o ângulo também é nulo. Logo a curva braquistócrona é tangente à vertical na origem.

2- A velocidade é limitada, pois o seno não pode ser superior a 1. Esta velocidade máxima á atingida quando a partícula (ou o raio) passa pela horizontal.

Sem prejudicar a generalidade do problema, supõe-se que a partícula parta do ponto de coordenadas (0,0) e que a velocidade máxima seja atingida à altitude –D. A lei da refracção exprime-se então por:

$\frac{sen\theta }{\sqrt{-2gy}}=\frac{1}{\sqrt{2gD}}$.

Num ponto qualquer da trajectória podemos aplicar a relação:

$sen\theta =\frac{dx}{\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}}$.

Inserindo esta expressão na fórmula precedente e arrumando os termos da mesma obtém-se:

${\left(\begin{array}{c}\frac{dy}{dx}\end{array}\right)}^2=-\frac{D+y}{y}$.

Que corresponde à equação diferencial do oposto de uma cicloide gerado pelo diâmetro D.

Formalização do problema

Predefinição:Sem-fontes Considere uma curva suave $\lambda$ no plano $(x,y)$ unindo dois pontos fixos $P_0=(x_0;y_0)$ e $P_1=(x_1;y_1)$. (Suponha que $y_0>y_1$). O tempo $T$ necessário para que uma partícula localizada na posição $(x,y)$ percorra a curva $\lambda$ de $P_0$ até $P_1$ é dado por

$T=\underset{0}{\overset{T}{\int }}dt=\underset{\lambda }{\int }\frac{ds}{v}$

Assumimos que a força gravitacional terrestre atua no sentido negativo do eixo $y$. Assim, uma partícula localizada na posição $(x,y)$e que desliza ao longo de $\lambda$ sob a força da gravidade terá energia cinética e energia potencial dadas respectivamente como $\frac{1}{2}m{v}^2$ e $mgy$, em que $m$ é a massa da partícula. Pela conservação de energia, temos

$\frac{1}{2}m{v}^2+mgy=mg{y}_0,$

onde a partícula começa no repouso em $P_0$ com energia cinética inicial zero e energia potencial igual $mg{y}_0$. Consideramos sem perda de generalidade que $\lambda$ é parametrizada por

$\lambda :y=Y(x),x_0\le x\le x_1$

para alguma função $Y(x)$ adequada temos

$v=\sqrt{2g[y_0-Y(z)]},ds=\sqrt{1+Y^{\prime }(z{)}^2}dz.$

Portanto,

$T(\lambda )=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}\sqrt{\frac{1+Y^{\prime }(z{)}^2}{2g[y_0-Y(z)]}}dz(1)$

Para qualquer $Y$ em $D(T)=\{Y\in C_{[x_0;x_1]}^1|Y(x_0)=y_{0}eY(x_1)=y_1\}\subseteq C_{[x_0,x_1]}^1$.

Solução por meio do cálculo variacional

Predefinição:Sem-fontes Para facilitar, vamos considerar , na seção de formalização do problema, $P_0=(0;0)$ e $P_1=(x_1,y_1)$, assim adaptando (1), temos

$T(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2g}}\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}\sqrt{\frac{1+Y^{\prime }(z{)}^2}{Y(z)}}dzY(0)=0,Y(x_1)=y_1.(2)$

Agora, precisamos encontrar a função $y$que minimize (2) , com as condições de fronteiras dadas.

Considere então a função $F(x;y;y^{\prime })=\frac{\sqrt{1+y{\text{'}}^2}}{\sqrt{y}}$. Assim, $F_{y^{\prime }}=\frac{y^{\prime }}{\sqrt{y(1+y{\text{'}}^2)}}$. A condição necessária para termos um extremo para o funcional é dada pela equação de Euler-Lagrange $(F_y-\frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }})$; como neste caso o funcional não depende de $x$, tem-se $(F-y^{\prime }{F}_{y^{\prime }}=K_1)$, e deste modo, temos

$\frac{\sqrt{1+y{\text{'}}^2}}{\sqrt{y}}-\frac{y^{\prime }2}{\sqrt{y(1+y^{\prime }2)}}=\frac{1}{\sqrt{y(1+y{\text{'}}^2)}}=K_1$

Isto é,

$y(1+y{\text{'}}^2)=K_2$

Para resolver esta equação diferencial, insere-se um parâmetro $t$. Então considere $y^{\prime }(x(t))=\cot (t)$ e assim , tem-se

$y=\frac{K_2}{1+{\cot }^{2}t}=\frac{K_2}{1+\frac{(1+\cos (2t))/2}{(1-\cos (2t))/2}}$

Assim,

$y=\frac{K_2}{2}(1-\cos (2t))$

Derivando $y$em relação a $t$, tem-se $dy=2K_2\text{<mi fromhbox="1">s</mi>}en(t)\cos (t)dt$, e como $dx=\frac{dy}{y^{\prime }(x)}$, logo

$dx=\frac{2K_2\text{<mi fromhbox="1">s</mi>}en(t)\cos (t)}{\cot (t)}dt=K_2(1-\cos (2t))dt$

isto é,

$x(t)=K_{2}t-\frac{K_2\text{<mi fromhbox="1">s</mi>}en(2t)}{2}+K_3=\frac{K_2}{2}(2t-\text{<mi fromhbox="1">s</mi>}en(2t))+K_3$

Desta forma, uma parametrização para$\lambda$ é dada por $(x(t);y(t))$, e fazendo $2t=\theta$, $\frac{K_2}{2}=R_1$ e como $x(0)=0$, então $K_3=0$, assim fica-se com $x(\theta )=R_1(\theta -\text{<mi fromhbox="1">s</mi>}en(\theta ))$ e $y(\theta )=R_1(1-\cos (\theta ))$.Assim, a curva $\lambda =(x(\theta );y(\theta ))$, que é um arco de cicloide, é candidata a extremo do funcional.

Vamos agora verificar as condições suficientes para mostrar que a curva $\lambda =(x(\theta );y(\theta ))$ minimiza o funcional. Observe que o feixe de cicloide $x=r(\alpha -\text{<mi fromhbox="1">s</mi>}en(\alpha ))$ e $y=r(1-\cos (\alpha ))$ com o centro $(0;0)$ forma um campo central que inclui o extremal

$x(\theta )=R_1(\theta -\text{<mi fromhbox="1">s</mi>}en(\theta ))$ e $y(\theta )=R_1(1-\cos (\theta ))$

onde $R_1$ é determinado pela condição de que a cicloide passa pelo ponto de fronteira $P_1=(x_1;y_1)$, então $x_1<2\pi R_1$.

Além disso, como $F_{y^{\prime }}=\frac{y^{\prime }}{\sqrt{y(1+y{\text{'}}^2)}}$, então $F_{y^{\prime }{y}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{y}\sqrt{(1+y{\text{'}}^2{)}^3}}>0$

para qualquer $y^{\prime }$. Assim, verifica-se a condição suficiente para que o funcional assuma o mínimo na cicloide

$x(\theta )=R_1(\theta -\text{<mi fromhbox="1">s</mi>}en(\theta ))$ e $y(\theta )=R_1(1-\cos (\theta ))$

Portanto temos a confirmação que a solução do problema da Braquistócrona é a cicloide.

Bibliografia

• Universidade de Lisboa-Trabalho sobre o problema de Braquistócrone
• HOUAISS, Antônio, Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa Tomo II, Lisboa:Círculo dos Leitores, 2003, ISBN 972-42-2809-8
• LI, Y. -  Lectures on Variational Methods. [s.n], 2012.  Disponível em: http://www.math.jhu.edu/~yli/Variational%20methods.pdf. Acesso em:01 de jun. 2019.
• Paul Stäckel (Ed.): Variationsrechnung. Abhandlungen von Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli, Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, Adrien Marie Legendre, Carl Gustav Jacob Jacobi. Darmstadt : Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1976.