Congruência (álgebra)

Predefinição:Sem-fontes Em álgebra diz-se que a é congruente a b módulo m se m|(a - b). Usamos como símbolo de a congruente a b modulo m :$a\equiv b(modm)$.

Breve história

Carl Friedrich Gauss foi o grande introdutor da congruência, pois começou a mostrar ao mundo a congruência a partir de um trabalho realizado em 1801, Disquisitiones Arithmeticae, quando tinha apenas 24 anos de idade. Várias ideias usadas na teoria dos números foram introduzidas neste trabalho, até mesmo o símbolo usado na congruência atualmente foi o que Gauss usou naquela época.

Propriedade da congruência

• Se $a\equiv b(modm)$ então existe um inteiro k tal que a = b + km.
• Sempre $a\equiv a(modm)$;
• Se $a\equiv b(modm)$, então: $b\equiv a(modm)$;
• Se $a\equiv b(modm)$ e $b\equiv c(modm)$, então: $a\equiv c(modm)$;
• Se $a.c\equiv b(modm)$ e $c\equiv d(modm)$ , então $ad\equiv b(modm)$
• Se $a\equiv b(modm)$, então: $(a+c)\equiv (b+c)(modm)$, onde c é um inteiro;
• Se $a\equiv b(modm)$, então: $(a-c)\equiv (b-c)(modm)$, onde c é um inteiro;
• Se $a\equiv b(modm)$, então: $a.c\equiv b.c(modm)$, onde c é um inteiro;
• Se $a\equiv b(modm)$ e $c\equiv d(modm)$, então: $a+c\equiv b+d(modm)$;
• Se $a\equiv b(modm)$ e $c\equiv d(modm)$, então: $a-c\equiv b-d(modm)$;
• Se $a\equiv b(modm)$ e $c\equiv d(modm)$, então: $a.c\equiv b.d(modm)$;

Observe que desta última propriedade acima deriva que:

• Se $a\equiv b(modm)$ e $n$ é um número inteiro positivo, então: $a^n\equiv b^n(modm)$;

• Se $a.c\equiv b.c(modm)$, então: $a\equiv b(modm/d)$, onde d é o máximo divisor comum de c e m.
• Se $ab\equiv c(modm)$ e $a\equiv a_1(modm)$ e $b\equiv b_1(modm)$, então:

$a_1{b}_1\equiv c(modm)$;

$(m\pm a)(m\pm b)\equiv c(modm)$;

$(m\pm a_1)(m\pm b_1)\equiv c(modm)$

(Isto vale não apenas para dois fatores, como no caso, a e b).

Devido a uma propriedade das potências e outra das congruências já apresentadas:

• Se $a^b\equiv c(\mathrm{mod}m)$, então $a^{bn}\equiv c^n(\mathrm{mod}m)$.

Congruência linear

Chamemos de congruência linear em uma variável x uma congruência da forma: $a.x\equiv b(modm)$.

Propriedade da congruência linear

• Tenhamos uma congruência $a.x\equiv b(modm)$ e seja d o MDC de a e m, então se d não divide b, não temos nenhuma solução, mas, se d|b então temos exatamente d soluções incongruentes modulo m.

Equação Diofantina

Uma equação diofantina é uma equação da forma $ax+by=c$. Seja $d$ o MDC de $a$ e $b$, se $d$ não divide $c$ então não teremos nenhuma solução inteira, mas, se $d|c$ então existem infinitas soluções inteiras dadas pela forma: $X=X_0+(b/d)k$ e $Y=Y_0-(a/d)k$, onde $X_0$ e $Y_0$ são soluções particulares e $k$ é qualquer inteiro.

Ver também

• Aritmética modular
• Teorema de Euler
• Pequeno teorema de Fermat
• Teorema de Wilson
• Teorema do resto chinês
• Identidade de Bézout