Conjunção lógica

A conjunção é uma operação na lógica matemática, que pode ser ligada à operação de interseção de conjuntos. A conjunção é representada pelo conectivo lógico ∧, e em programação por AND ou && que = a letra E Ex: João ∧ Maria vão ao shopping A conjunção lógica pode ainda ser representada pelo símbolo do produto.

Definição

Em lógica binária, ocorrem apenas dois estados:

• Verdadeiro, representado pela letra V, ou pelo número 1.
• Falso, representado pela letra F, ou pelo número 0.

A conjunção é uma operação que verifica a seguinte tabela de verdade:

a	b	a ∧ b
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

ou de forma equivalente

a	b	a ∧ b
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Portanto pode ainda ser representada pela multiplicação, que dá o mesmo resultado, se a e b forem 0 ou 1.

Outra interpretação é a da lógica fuzzy, que generaliza pela equivalência com o mínimo(a,b).

Interseção de conjuntos

A operação de conjunção lógica está ainda relacionada com a interseção de conjuntos.

Um elemento está na intersecção dos conjuntos apenas se for verdade que está em ambos.

$x\in (A\cap B)\iff (x\in A)\wedge (x\in B)$

Segue a representação dessa operação no diagrama de Venn.

Conjunção semântica

A operação lógica da conjunção funciona da mesma forma que a conjunção semântica e.

Suponham-se duas frases quaisquer:

$a\equiv est\acute{a}chovendol\acute{a}fora$

$b\equiv euestoudentrodecasa$

$a\wedge b\equiv (est\acute{a}chovendol\acute{a}fora)e(euestoudentrodecasa)$

A conjunção só é verdadeira se ambas as frases forem. Se não estiver chovendo, a conjunção é falsa (se não estiver dentro de casa, também).

Convém notar que na linguagem vulgar a conjunção "e" pode ter um significado aditivo, não relacionado com o significado lógico.

Propriedades

A conjunção relaciona dois valores, mas usando o seu resultado podem ser feitas operações com mais valores.

Com uma tabela de verdade pode demonstrar-se a propriedade associativa

$((a\wedge b)\wedge c)$ é igual a $(a\wedge (b\wedge c))$

e portanto neste caso basta escrever

$a\wedge b\wedge c$

sem necessidade de parentesis, já que o resultado é o mesmo.

A conjunção lógica tem diversas propriedades. Destacam-se:

• $a\wedge b\equiv b\wedge a:$ (comutatividade)
• $(a\wedge b)\wedge c\equiv a\wedge (b\wedge c):$ (associatividade)
• $a\wedge b\equiv \mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }a\vee \mathrm{\neg }b):$ (leis de De Morgan)
• $a\wedge \mathrm{\neg }a\equiv 0:$ (a contradição é sempre falsa)
• $a\wedge 1\equiv a:$ (a verdade é o elemento neutro da conjunção)
• $a\wedge 0\equiv 0:$ (a falsidade é o elemento absorvente da conjunção)
• $a\wedge (b\vee c)\equiv (a\wedge b)\vee (a\wedge c):$ (distributividade em relação à disjunção lógica)

Ver também

• Disjunção lógica

Ligações externas

• Enciclopédia da matemática Predefinição:En