Conversor Ćuk

O conversor Ćuk ou regulador Ćuk é um conversor CC/CC que fornece uma tensão de saída que é menor ou maior que a tensão de entrada, mas a polaridade da tensão de saída é oposta à da tensão de entrada ^[1]. Além disso, o circuito tem baixas perdas de chaveamento e eficiência elevada. Esse circuito requer um capacitor e um indutor adicionais em relação ao conversor Buck-Boost.^[2]

O conversor Ćuk baseia-se na transferência de energia do capacitor, tal particularidade se deve à característica de fonte de corrente tanto em sua entrada quanto em sua saída. A característica de fonte de corrente se deve ao indutor em série com sua entrada ou saída.

Como o conversor Ćuk possui característica de fonte de corrente em sua entrada e em sua saída, é necessário o desacoplamento entre a entrada e a saída do conversor Ćuk, que neste caso é feito pelo capacitor. Em linhas gerais, durante a operação do conversor Ćuk, não há uma transferência de energia direta entre a entrada e a saída do conversor. Sendo assim, o capacitor tem o objetivo de armazenar a energia da fonte e transferi-la para a saída. Esta característica define o conversor Ćuk como um conversor acumulador de energia capacitiva. ^[3]

Resumo das equações

O quadro a seguir contém algumas das equações do conversor Ćuk no MCC.

Equações do conversor Ćuk
Variável	Equação
Ganho estático	$G = \frac{D}{1 - D}$
Corrente média do indutor $L_{1}$	$I_{L_{1}} = I_{i n}$
Corrente média do indutor $L_{2}$	$I_{L_{2}} = I_{o}$
Ondulação de corrente do indutor $L_{1}$	$Δ I_{L_{1}} = \frac{V_{S}}{L_{1}} D T_{s} = \frac{V_{S} - V_{C}}{L_{1}} (1 - D) T_{s}$
Ondulação de corrente do indutor $L_{2}$	$Δ I_{L_{2}} = \frac{V_{C} - V_{o}}{L_{2}} D T_{s} = \frac{V_{o}}{L_{2}} (1 - D) T_{s}$
Ondulação de tensão no capacitor de acoplamento $C$	$Δ V_{C} = \frac{V_{o} D}{R C f_{s}}$
Ondulação de tensão no capacitor de saída $C_{o}$	$Δ V_{o} = \frac{(V_{C} - V_{o}) D}{8 L_{2} C_{o} {f_{s}}^{2}} = \frac{V_{o} (1 - D)}{8 L_{2} C_{o} {f_{s}}^{2}}$
Corrente média na chave	$I_{S_{W}} = I_{o} \frac{D}{1 - D} = I_{i n}$
Corrente média na diodo	$I_{D} = I_{o}$

Conversor Ćuk no Modo de Condução Contínua (MCC)

O conversor Ćuk no MCC (Modo de Condução Contínua), assim como outros conversores CC-CC tradicionais, opera em duas etapas. A primeira esta consiste no período em que a chave está fechada, enquanto a segunda etapa corresponde ao período em que a chave está aberta.^[4]

Para motivos da análise pode ser interessante definir as relações mostradas a seguir:

$t_{o n} = D T_{s}$

e

$t_{o f f} = (1 - D) T_{s} = D^{'} T_{s}$

Em que $D$ representa a razão cíclica. A razão cíclica normalmente assume valores entre 0 e 1. $T_{s}$ é o período da frequência de chaveamento ( $f_{s}$ ) que corresponde à

$T_{s} = \frac{1}{f_{s}}$

Primeira etapa de operação

Durante a primeira etapa de operação, há a magnetização dos indutores $L_{1}$ e $L_{2}$ . Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões, é possível encontrar que, o indutor $L_{1}$ é magnetizado pela tensão de entrada

$L_{1} \frac{d i_{L_{1}}}{d t} = V_{S}$

e o indutor $L_{2}$ é magnetizado pela diferença de tensão entre a tensão no capacitor $C$ e a tensão de saída.

$L_{2} \frac{d i_{L_{2}}}{d t} = V_{C} - V_{o}$

Pelas equações anteriores é possivel encontrar a corrente dos indutores. A corrente instantânea dos indutores podem ser dadas por:

$i_{L_{1}} (t) = \frac{V_{S}}{L_{1}} t + I_{L_{1 m i n}}$

$i_{L_{2}} (t) = \frac{(V_{C} - V_{o})}{L_{2}} t + I_{L_{2 m i n}}$

Pelas equações das correntes nos indutores, é possivel determinar a ondulação de correntes ou ripple nos mesmos, pois a corrente cresce linearmente de seu valor mínimo ( $I_{L_{m i n}}$ ) até seu valor máximo ( $I_{L_{m a x}}$ ). O valor máximo é atingido no tempo $t = D T_{s}$ .

$Δ I_{L_{1}} = I_{L_{1 m a x}} - I_{L_{1 m i n}} = \frac{V_{S}}{L_{1}} D T_{s}$

$Δ I_{L_{2}} = I_{L_{2 m a x}} - I_{L_{2 m i n}} \frac{(V_{C} - V_{o})}{L_{2}} D T_{s}$

Durante a primeira etapa, o capacitor de acoplamento $C$ é descarregado, transferindo sua energia ao indutor $L_{2}$ , sendo assim pode-se escrever a corrente no capacitor $C$ como:

$C \frac{d v_{C}}{d t} = - i_{L_{2}} (t)$

Por sua vez, a corrente no capacitor de saída $C_{o}$ pode ser dada por:

$C_{o} \frac{d v_{o}}{d t} = i_{L_{2}} (t) - I_{o}$

A equação da corrente no capacitor $C_{o}$ mostra que sua corrente é igual à corrente do indutor $L_{2}$ subtraída de seu valor médio, ou ainda, há apenas a circulação do ripple da corrente do indutor no capacitor.

Segunda etapa de operação

A segunda etapa de operação do conversor Ćuk consiste no período em que a chave está aberta $(1 - D) T_{s}$ , que ocasiona a polarização direta do diodo. Durante a segunda etapa há a desmagnetização dos indutores. Na segunda etapa, o indutor $L_{1}$ é desmagnetizado com a diferença da tensão entre a entrada e tensão do capacitor $C$ .

$L_{1} \frac{d i_{L_{1}}}{d t} = V_{S} - V_{C}$

Já o indutor $L_{2}$ é desmagnetizado pela tensão de saída.

$L_{2} \frac{d i_{L_{2}}}{d t} = - V_{o}$

Sendo assim, a corrente dos indutores pode ser escrita como:

$i_{L_{1}} (t) = \frac{(V_{S} - V_{C})}{L_{1}} t + I_{L_{1 m a x}}$

$i_{L_{2}} (t) = - \frac{V_{o}}{L_{2}} t + I_{L_{2 m a x}}$

Ao término da segunda etapa, a corrente dos indutores atinge o valor mínimo em $t = (1 - D) T_{s}$ , portanto pode-se escrever

$I_{L_{1 m i n}} = - \frac{(V_{S} - V_{C})}{L_{1}} (1 - D) T_{s} + I_{L_{1 m a x}}$ $I_{L_{2 m i n}} = - \frac{V_{o}}{L_{2}} (1 - D) T_{s} + I_{L_{2 m a x}}$

Por meio das equações acima, também é possível determinar as ondulações de corrente nos indutores, sendo:

$Δ I_{L_{1}} = I_{L_{1 m a x}} - I_{L_{1 m i n}} = \frac{(V_{S} - V_{C})}{L_{1}} (1 - D) T_{s}$

$Δ I_{L_{2}} = I_{L_{2 m a x}} - I_{L_{2 m i n}} = - \frac{V_{o}}{L_{1}} (1 - D) T_{s}$

Em relação aos capacitores, durante a segunda etapa, a corrente no capacitor $C$ pode ser descrita como:

$C \frac{d v_{C}}{d t} = i_{L_{1}} (t)$

Por sua vez, a expressão da corrente no capacitor $C_{o}$ é a mesma vista na primeira etapa.

$C_{o} \frac{d v_{o}}{d t} = i_{L_{2}} (t) - I_{o}$

Ganho estático, tensões e correntes médias

Antes de prosseguir com os demais itens, é necessário determinar a tensão média no capacitor de acoplamento, o capacitor $C$ . O valor de tensão média neste componente pode ser encontrado através da lei de Kirchhoff das tensões, sendo aplicada à malha externa, a malha que envolve os indutores e o capacitor de saída, como destacado na figura.

Pela análise, encontra-se a seguinte soma das tensões:

$- V_{S} + V_{L_{1}} + V_{C} - V_{L_{2}} - V_{o} = 0$

Sendo assim, sabendo que a tensão média em regime permanente dos indutores é nula, a tensão média em $C$ para o regime permanente pode ser dada por:

$V_{C} = V_{S} + V_{o}$

O ganho estático do conversor Ćuk pode ser encontrado pela relação de tensão média no indutor, pois a tensão média no indutor em regime permanente é nula, desta forma pode-se escrever: ^[5]^[4]

$V_{L_{1}} = \frac{1}{T_{s}} (\int_{0}^{D T_{s}} V_{S} d t + \int_{0}^{(1 - D) T_{s}} (V_{S} - V_{C}) d t) = 0$
$V_{L_{1}} = (V_{S}) D + (V_{S} - V_{C}) (1 - D) = 0$

Substituindo $V_{C}$ e rearranjando-se os termos encontra-se o ganho estático.

$G = \frac{V_{o}}{V_{S}} = \frac{D}{1 - D}$

O ganho estático também pode ser obtido do mesmo modo através da relação de tensão no inditor $L_{2}$ .

Dada a característica de fonte de corrente na entrada do conversor Cuk, ou seja um indutor em séria com a entrada, a corrente no indutor $L_{1}$ é a própria corrente média de entrada.

$I_{L_{1}} = I_{i n}$

Já a corrente média no indutor $L_{2}$ , corresponde à própria corrente média de saída. ^[4]

$I_{L} = I_{o} = \frac{V_{o}}{R}$

A corrente média no diodo ( $I_{D}$ ) pode ser encontrada através de sua integral:

$I_{D} = \frac{1}{T_{s}} \int_{0}^{(1 - D) T_{s}} i_{L_{1}} (t) + i_{L_{2}} (t) d t$

$I_{D} = \frac{1}{2} \frac{(V_{S} - V_{C})}{L_{1}} (1 - D)^{2} T_{s} + I_{L_{1 m a x}} (1 - D) - \frac{1}{2} \frac{V_{o}}{L_{2}} (1 - D)^{2} T_{s} + I_{L_{2 m a x}} (1 - D)$

$I_{D} = \frac{1}{2} \frac{(V_{S} - V_{C})}{L_{1}} (1 - D)^{2} T_{s} + (I_{L_{1}} + \frac{Δ I_{L_{1}}}{2}) (1 - D) - \frac{1}{2} \frac{V_{o}}{L_{2}} (1 - D)^{2} T_{s} + (I_{L_{2}} + \frac{Δ I_{L_{2}}}{2}) (1 - D)$

É possível simplificar a equação substituindo $V_{C} = V_{S} + V_{o}$ e deixar em função da ondulação de corrente ( $Δ I_{L}$ ), deste modo encontra-se:

$I_{D} = \frac{1}{2} \frac{(- V_{o})}{L_{1}} (1 - D)^{2} T_{s} + (I_{L_{1}} + \frac{Δ I_{L_{1}}}{2}) (1 - D) - \frac{1}{2} \frac{V_{o}}{L_{2}} (1 - D)^{2} T_{s} + (I_{L_{2}} + \frac{Δ I_{L_{2}}}{2}) (1 - D)$

$I_{D} = - \frac{1}{2} Δ I_{L_{1}} (1 - D) + (I_{L_{1}} + \frac{Δ I_{L_{1}}}{2}) (1 - D) - \frac{1}{2} Δ I_{L_{2}} (1 - D) + (I_{L_{2}} + \frac{Δ I_{L_{2}}}{2}) (1 - D)$

$I_{D} = (I_{L_{1}} + I_{L_{2}}) (1 - D) = (I_{i n} + I_{o}) (1 - D)$

$I_{D} = (I_{o} \frac{D}{1 - D} + I_{o}) (1 - D)$

$I_{D} = I_{o}$

A corrente média na chave ( $I_{s w}$ ) também pode ser encontrada pela sua integral:

$I_{S_{W}} = \frac{1}{T_{s}} \int_{0}^{D T_{s}} i_{L_{1}} (t) + i_{L_{2}} (t) d t$

$I_{S_{W}} = \frac{1}{2} \frac{V_{S}}{L_{1}} D^{2} T_{s} + I_{L_{1_{m i n}}} D + \frac{1}{2} \frac{(V_{C} - V_{o})}{L_{2}} D^{2} T_{s} + I_{L_{2_{m i n}}} D$

$I_{S_{W}} = \frac{1}{2} \frac{V_{S}}{L_{1}} D^{2} T_{s} + (I_{L_{1}} - \frac{Δ I_{L_{1}}}{2}) D - \frac{1}{2} \frac{(V_{C} - V_{o})}{L_{2}} D^{2} T_{s} + (I_{L_{2}} - \frac{Δ I_{L_{2}}}{2}) D$

De forma semelhante à realizada para a corrente média no diodo, fazendo as substituições dos termos, deixando em função da ondulção de corrente ( $Δ I_{L}$ ), a corrente média na chave pode ser dada por:

$I_{S_{W}} = \frac{1}{2} \frac{V_{S}}{L_{1}} D^{2} T_{s} + (I_{L_{1}} - \frac{Δ I_{L_{1}}}{2}) D - \frac{1}{2} \frac{V_{S}}{L_{2}} D^{2} T_{s} + (I_{L_{2}} - \frac{Δ I_{L_{2}}}{2}) D$

$I_{S_{W}} = \frac{1}{2} Δ I_{L_{1}} D + (I_{L_{1}} - \frac{Δ I_{L_{1}}}{2}) D + \frac{1}{2} Δ I_{L_{2}} D + (I_{L_{2}} - \frac{Δ I_{L_{2}}}{2}) D$

$I_{S_{W}} = (I_{L_{1}} + I_{L_{2}}) D = (I_{i n} + I_{o}) (D$

$I_{S_{W}} = (I_{o} \frac{D}{1 - D} + I_{o}) D$

$I_{S_{W}} = I_{o} \frac{D}{1 - D} = I_{i n}$

A ondulação de tensão no capacitor de acoplamento pode ser encontrada por meio da variação de carga no capacitor. A variação pode ser determinada através da integral da corrente durante uma das etapa, neste caso optou-se pela segunda etapa, sendo assim a corrente no capacitor é igual à corrente $i_{L_{1}}$ .

$Δ Q_{C} = \int_{0}^{(1 - D) T_{s}} i_{L_{1}} (t) d t$

$Δ Q_{C} = \frac{1}{2} \frac{(V_{S} - V_{C})}{L_{1}} (1 - D)^{2} {T_{s}}^{2} + I_{L_{1_{m a x}}} (1 - D) T_{s} = \frac{1}{2} \frac{(- V_{o})}{L_{1}} (1 - D)^{2} {T_{s}}^{2} + (I_{L_{1}} + \frac{Δ I_{L_{1}}}{2}) (1 - D) T_{s}$

$Δ Q_{C} = - \frac{1}{2} Δ I_{L_{1}} (1 - D) T_{s} + I_{L_{1}} (1 - D) T_{s} + \frac{Δ I_{L_{1}}}{2} (1 - D) T_{s}$

$Δ Q_{C} = I_{L_{1}} (1 - D) T_{s}$

A plicando na equação:

$Δ V_{C} = \frac{Δ Q_{C}}{C}$

$Δ V_{C} = \frac{I_{L_{1}} (1 - D) T_{s}}{C} = \frac{I_{i n} (1 - D) T_{s}}{C} = \frac{I_{o} \frac{D}{1 - D} (1 - D) T_{s}}{C}$

$Δ V_{C} = \frac{I_{o} D T_{s}}{C} = \frac{V_{o} D}{R C f_{s}}$

Por fim, a ondulação de tensão de saída pode ser determinada da mesma forma como feita para o conversor buck. Desta forma, a ondulação da tensão de saída pode ser encontrada realizando a análise para o caso em que considera-se a maior ondulação de tensão. Este caso ocorre quando a razão cíclica se iguala a meio ( $D = 0, 5$ ). A corrente no capacitor é ilustrada na figura.

Neste período se tem que o pico da corrente no capacitor é igual a $\frac{Δ I_{L_{2}}}{2}$ e o período em que a corrente é positiva no capacitor é igual a $\frac{T_{s}}{2}$ . Sendo assim, a variação de carga no capacitor pode ser dada pela área do gráfico em destaque. Pela área do triângulo obtém-se:

$Δ Q = \frac{\frac{Δ I_{L_{2}}}{2} \frac{T_{s}}{2}}{2} = \frac{Δ I_{L_{2}} T_{s}}{8}$

Portanto pela equação

$Δ V_{o} = \frac{Δ Q}{C_{o}}$

encontra-se

$Δ V_{o} = \frac{Δ I_{L_{2}} T_{s}}{8 C_{o}}$

substituindo $Δ I_{L_{2}}$ : ^[4]

$Δ V_{o} = \frac{(V_{C} - V_{o}) D}{8 L_{2} C_{o} {f_{s}}^{2}} = \frac{V_{o} (1 - D)}{8 L_{2} C_{o} {f_{s}}^{2}}$

Predefinição:Referências Predefinição:Commons cat Predefinição:Esboço-eletricidade

[1] Predefinição:Cite conference

[2] Predefinição:Citar periódico

[Barbi-3] Predefinição:Citar livro

[Hart-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 Predefinição:Citar livro

[Erickson-5] Predefinição:Citar livro

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Conversor Ćuk

Índice

Resumo das equações

Conversor Ćuk no Modo de Condução Contínua (MCC)

Primeira etapa de operação

Segunda etapa de operação

Ganho estático, tensões e correntes médias

Menu de navegação

Conversor Ćuk

Resumo das equações

Conversor Ćuk no Modo de Condução Contínua (MCC)

Primeira etapa de operação

Segunda etapa de operação

Ganho estático, tensões e correntes médias

Menu de navegação

Pesquisa