Curva de perseguição

Na matemática, curva de perseguição é a curva que descreve a trajetória de um ponto, o perseguidor, que se move em direção a outro, o perseguido. A curva descrita por esse último é definida como curva de fuga, podendo ser uma reta, no caso mais simples. Foi estudada pelo matemático francês Pierre Bouguer, em 1732. Contudo, o termo 'curva de perseguição' foi definido pelo matemático George Boole em 1859 no livro Treatise on Differential Equations (pág 246) .

Duas condições devem ser especificadas para definir uma Curva de Perseguição:

1. O perseguidor move-se apontando sempre diretamente para o perseguido;
2. A velocidade do perseguidor é diretamente proporcional à do perseguido.

Exemplos clássicos para modelar a Curva são o de um gato caçando um rato, uma raposa perseguindo um coelho, ou a trajetória de um míssil teleguiado perseguindo o alvo.

Equação diferencial de uma curva de perseguição

Sejam $x,y$ as coordenadas de um ponto perseguidor, e $x^{\prime },y^{\prime }$ as coordenadas simultâneas do ponto perseguido. Seja a equação do caminho dado

$f(x^{\prime },y^{\prime })=0(1)$

Note que o ponto perseguido é sempre tangente ao caminho dado pelo ponto perseguidor, cujas coordenadas satisfazem a equação da tangente.Então:
$y^{\prime }-y=\frac{dy}{dx}(x^{\prime }-x)(2)$
Por fim, sendo as velocidades dos dois pontos uniformes, o arco correspondente será obtido pela razão constante entre as velocidades com os quais eles. Então, se a velocidade do ponto perseguidor estiver para o ponto perseguido com $n:1$, teremos:

$n\times \sqrt[]{(dx{\text{'}}^2+dy{\text{'}}^2)}=\sqrt[]{(d{x}^2+d{y}^2)}$ ,

ou, tomando x como uma variável independente,

$n\times \sqrt[]{{\left(\frac{d{x}^{\prime }}{dx}\right)}^2+{\left(\frac{d{y}^{\prime }}{dx}\right)}^2}=\sqrt[]{{(1+\frac{dy}{dx})}^2}(3)$

O sinal a ser dado em cada radical pode ser positivo ou negativo, de acordo com a tendência do movimento crescer ou diminuir no arco correspondente.

De $(2)$ e $(3)$ , quando a forma da função $f(x^{\prime },y^{\prime })$ é determinada, $x^{\prime }$ e $y^{\prime }$ podem ser encontrados em termos de $x,y$ e $\frac{dy}{dx}$ , e esses valores nos permitem reduzir $(1)$ para uma equação entre $x,y,\frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$. Resta apenas resolver esta equação diferencial de segunda ordem. Se os sinais dos radicais são ambos mudados, o movimento em cada curva é simplesmente invertido, e a curva de perseguição torna-se uma curva de fuga. Mas a equação diferencial permanece inalterada, bem como a forma da curva, apenas com suas relações invertidas.

Exemplo

Uma partícula que parte de um ponto do eixo das abcissas, a uma distância $a$ da origem, e move-se uniformemente em uma direção vertical paralela ao eixo das ordenadas, é perseguido por uma partícula que parte simultaneamente da origem cuja velocidade é de razão $n:1$. Queremos saber o caminho do perseguidor.

Solução

A equação do caminho da primeira partícula dado por $x^{\prime }=a$, por $(2)$ , é

$y^{\prime }-y=\frac{dy}{dx}(a-x)$ ,

então,

$y^{\prime }=y+\frac{dy}{dx}(a-x)$ .

Assim nós temos que

$\frac{d{y}^{\prime }}{dx}=0,\frac{d{y}^{\prime }}{dx}=(a-x)\frac{d^{2}y}{d{x}^2},$

e a equação diferencial, sendo ambos radicais positivos, é

$n(a-x)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\sqrt[]{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}(a)$.

Então,

$\frac{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}{\sqrt[]{1+(\frac{dy}{dx}{)}^2}}=\frac{1}{n(a-x)}$.

Multiplicando por $dx$ e integrando

$\frac{dy}{dx}+\sqrt[]{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}=c(a-x{)}^{1/n}$

Logo,

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(c(a-x{)}^{1/n}-\frac{1}{c}(a-x{)}^{1/n})$

Disso, se $n$ não for igual a $1$ ,

$\frac{1}{2}(\frac{c(a-x{)}^{1-\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}-1}+\frac{1}{c}\frac{(a-x{)}^{1+\frac{1}{n}}}{1+\frac{1}{n}})+c^{\prime }(b)$

mas se $n$ for igual a $1$, teremos, ao substituir $C$ por $\frac{1}{2}(\frac{1}{c}-c),$

disso,

$y=\frac{C(x-a{)}^2}{2}+c^{\prime }(c)$

que é representado por uma parábola.

O problema do Rato

Trajetórias de perseguição.

No problema do rato, cada ponto parte dos vértices de um polígono regular e faz simultaneamente o papel de perseguidor e perseguido, caçando o ponto mais próximo a esquerda, seguindo em sentido horário. Observa-se que a curva traçada por cada ponto é uma espiral logarítmica, e ligando-os em períodos regulares de tempo temos um efeito redemoinho de polígonos proporcionais ao original.

Ligações Externas

(Em Português) Aplicação de Problemas e Curvas de perseguição no Ensino Médio

(Em inglês)https://web.archive.org/web/20130717202603/http://www.hsu.edu/uploadedFiles/Faculty/Academic_Forum/2006-7/2006-7AFPursuit.pdf

(Em inglês)http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html
(Em alemão)http://did.mat.uni-bayreuth.de/~susanne/verfolgung/Hundekurven.html