Curva pedal

Construção geométrica da curva pedal de $C$ em relação a $P$

Para uma curva $C$ e um ponto fixado $P,$ a curva pedal de $C$ é o lugar geométrico dos pontos $X$ tais que $PX$ é perpendicular a tangente da curva que passa por $X.$ O ponto $P$ é chamado de ponto pedal. A curva pedal é a primeira de uma série de curvas $C_1,$ $C_2,$ $C_3,$ etc.., onde $C_1$ é a curva pedal de $C,$ $C_2$ é a curva pedal de $C_1,$ e assim por diante.

Mais precisamente, em qualquer ponto $R$ sobre $C,$ seja $T$ a reta tangente em $R.$ Existe um único ponto $X$ sobre $T$ que ou é $P$ (no caso de $P$ pertencer a $T$) ou forma com $P$ a reta perpendicular a $T.$ A curva pedal o conjunto dos tais pontos $X,$ chamados de pé da perpendicular a $T$ a partir de $P,$ conforme $R$ varia sobre pontos $C.$

Analogamente, existe um único ponto $Y$ sobre a reta normal à $C$ em $R,$ de forma que $PY$ seja perpendicular à normal, assim $PXRY$ é um retângulo (possivelmente degenerado). O lugar geométrico dos pontos $Y$ é chamado curva contrapedal.

Equações

Equação cartesiana

Tome $P$ para ser a origem. Para obter uma curva dada pela equação $F(x,y)=0,$ se a equação da reta tangente em $R=(x_0,y_0)$ é escrita na forma

$\cos \alpha x+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha y=p$

em seguida o vetor (cos α, sin α) é paralelo ao segmento $PX,$ e o comprimento de $PX,$ que é a distância da partir reta tangente à origem, é $p.$ Também $X$ é representado em coordenadas polares por $(p,\alpha )$ e trocando $(p,\alpha )$ por $(r,\theta )$ produzimos a equação polar para a curva pedal.

Por exemplo, para a elipse

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

a reta tangente em $R=(x_0,y_0)$ é

$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

e escrever isso na forma descrita acima requer que

$\frac{x_0}{a^2}=\frac{\cos \alpha }{p},\frac{y_0}{b^2}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha }{p}.$

A equação para a elipse pode ser usada para eliminar $x_0$ and $y_0$ dando

$a^2{\cos }^2\alpha +b^2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^2\alpha =p^2,$

e convertendo para $(r,\theta )$ dados

$a^2{\cos }^2\theta +b^2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^2\theta =r^2,$

como a equação polar para a pedal. Isto é facilmente convertido para uma equação cartesiana

$a^2{x}^2+b^2{y}^2=(x^2+y^2{)}^2.$

Equação Polar

Seja P a origem, e C dado em coordenadas polares pela equação r = f(θ). Seja R=(r, θ) um ponto na curva, e X=(p, α) seu ponto correspondente na curva polar. Façamos que ψ denote o ângulo entre a reta tangente e o raio vetor. Ele é dado por:

$r=\frac{dr}{d\theta }\tan \psi .$

Então

$p=r\sin \psi$

e

$\alpha =\theta +\psi -\frac{\pi }{2}.$

Essas equações podem ser usadas para produzir uma equação em p and α onde, quando transladado para r e θ, nos dá uma equação polar para a curva pedal.

Por exemplo, seja a curva uma circunferência com r = a cos θ. Então

$a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi$

então

$\tan \psi =-\cot \theta ,\psi =\frac{\pi }{2}+\theta ,\alpha =2\theta .$

Também temos

$p=r\sin \psi =r\cos \theta =a{\cos }^2\theta =a{\cos }^2\frac{\alpha }{2}.$

Com isso a equação polar da pedal é:

$r=a{\cos }^2\frac{\theta }{2}.$

Da equação Pedal

A equação Pedal de uma curva e seu pedal são muito relacionados. Se P é pego como o ponto pedal e como a origem, então pode ser mostrado que o ângulo ψ entre a curva e o raio vetor no ponto R é igual ao ângulo correspondente para a curva pedal no ponto X. Se p é o tamanho da perpendicular de P até a tangente a curva (i.e. PX) e q é o tamanho da correspondente perpendicular desenhada de P até a tangente ao pedal, então por semelhança de triângulos

$\frac{p}{r}=\frac{q}{p}.$

Disso segue imediatamente que se a equação Pedal da curva é f(p,r)=0 então a equação para a curva pedal é

$f(r,\frac{r^2}{p})=0$

Com isso, todos os pedais positivos e negativos podem ser computados facilmente se a equação pedal da curva é conhecida.

Equações Paramétricas

Seja $\overrightarrow{v}=P-R$ o vetor de R até P e sejam

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_{\parallel }+{\overrightarrow{v}}_{\perp }$,

as componentes normal e tangencial de $\overrightarrow{v}$ com respeito a curva. Então ${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$ é o vetor de R até X do qual a posição de X pode ser analisada.

Especificamente, se c é uma parametrização da curva então

$t\mapsto c(t)+\frac{c^{\prime }(t)\cdot (P-c(t))}{|c^{\prime }(t){|}^2}{c}^{\prime }(t)$

parametriza a currva pedal (excetuando-se pontos onde c' é zero ou indefinido).

Para uma curva paramétrica definida, sua curva pedal com o ponto pedal (0,0) é definida como:

$X[x,y]=\frac{(x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime })y^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}$

$Y[x,y]=\frac{(y{x}^{\prime }-x{y}^{\prime })x^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}.$

Propriedades Geométricas

Considere um ângulo movendo-se rigidamente de forma que um de seus extremos seja fixo no ponto P, e o outro lado seja tangente a curva. Então, o vértice desse ângulo é X e traça assim, a curva pedal. Enquanto o ângulo se move, a direção do movimento em P é paralelo a PX a a direção do movimento em R é paralela a tangente T = RX. Portanto o centro instantâneo de rotação é a interseção da linha perpendicular a PX em P e perpendicular a RX em R, e esse ponto é Y. Assim, segue que a tangente à pedal em X é perpendicular a XY

Desenhe uma circunferência com diâmetro PR, então ela circunscreve o retângulo PXRY e XY é outro diâmetro. A circunferência e a pedal, são ambas perpendiculares a XY então elas são tangentes em X. Portanto a pedal é o envelope da circunferência com diâmetro PR onde R pertence à curva.

A linha YR é normal à curva e o envelope de tal normal e sua evoluta. Portanto YR é tangente a evoluta e o ponto Y é o pé da perpendicular de P a essa tangente, em outras palavras Y está no pedal da evoluta.

Exemplos

Limaçon — Curva pedal de um círculo

Quando C é uma circunferência a discussão acima mostra que as definições seguintes of a limaçon são equivalentes:

• É o pedal da circunferência.
• É o envelope da circunferência cujo diametro tem um ponto final em um ponto fixo e o ontro ponto final que percorre a circunferência.

Pedais de curvas Específicas

Pedals of some specific curves are:

Curva	Equação	Ponto de pedal	Curva Pedal
Circunferência		Ponto da Circunferência	Cardioid
Circunferência		Qualquer Ponto	Limaçon
Parábola		Foco	A reta tangente no vértice
Parábola		Vértice	Cissoide of Diocles
Conica Central		Foco	Circunferência auxiliar
Cônica Central	$\frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}=1$	Centro	$a^2{\cos }^2\theta \pm b^2{\sin }^2\theta =r^2$ (a hippopede)
Hibérbole Retângular		Centro	Lemniscata de Bernoulli
Espiral logarítmical

Ver também

• Lista de curvas

Referências

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Leitura adicional

• Differential and integral calculus: with applications by George Greenhill (1891) p326 ff. (Google books)
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• "Note on the Problem of Pedal Curves" by Arthur Cayley

Ligações externas

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• "Podaire d'une Courbe" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables