Cálculo fraccional de conjuntos

O Cálculo Fraccional de Conjuntos (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionado pela primeira vez no artigo intitulado "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods", é uma metodologia derivada do Cálculo Fraccional. O conceito principal por trás do FCS é a caracterização dos elementos do cálculo fraccional usando conjuntos devido à grande quantidade de operadores fraccionales disponíveis. Essa metodologia surgiu a partir do desenvolvimento do método de Newton-Raphson Fraccional e trabalhos relacionados subsequentes.

Ilustração de algumas linhas geradas pelo método de Newton–Raphson fraccional para a mesma condição inicial $x_0$ mas com diferentes ordens $\alpha$ do operador fracionário implementado. Fonte: Applied Mathematics and Computation

Conjunto $O_{x,\alpha }^n(h)$ de Operadores Fraccionales

O cálculo fraccional, um ramo da matemática que lida com derivadas de ordem não inteira, surgiu quase simultaneamente com o cálculo tradicional. Esse surgimento foi em parte devido à notação de Leibniz para derivadas de ordem inteira: $\frac{d^n}{d{x}^n}$. Graças a essa notação, L’Hopital pôde perguntar em uma carta a Leibniz sobre a interpretação de tomar $n=\frac{1}{2}$ em uma derivada. Naquela época, Leibniz não conseguiu fornecer uma interpretação física ou geométrica para essa pergunta, então simplesmente respondeu a L’Hopital em uma carta que "... é uma aparente paradoxo do qual, algum dia, surgirão consequências úteis".

O nome "cálculo fraccional" origina-se de uma pergunta histórica, já que este ramo da análise matemática estuda derivadas e integrais de uma certa ordem $\alpha \in ℝ$. Atualmente, o cálculo fraccional carece de uma definição unificada do que constitui uma derivada fraccional. Consequentemente, quando não é necessário especificar explicitamente a forma de uma derivada fraccional, tipicamente é denotada da seguinte forma:

$\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}.$

Os operadores fraccionales têm várias representações, mas uma de suas propriedades fundamentais é que recuperam os resultados do cálculo tradicional à medida que $\alpha \to n$. Considerando uma função escalar $h:{ℝ}^m\to ℝ$ e a base canônica de ${ℝ}^m$ denotada por $\{{\hat{e}}_k{\}}_{k\ge 1}$, o seguinte operador fraccional de ordem $\alpha$ é definido usando a notação de Einstein:

$o_x^{\alpha }h(x):={\hat{e}}_k{o}_k^{\alpha }h(x).$

Denotando $\underset{k}{\overset{n}{\partial }}$ como a derivada parcial de ordem $n$ com respeito ao componente $k$-ésimo do vetor $x$, define-se o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

$O_{x,\alpha }^n(h):=\{o_x^{\alpha }:\mathrm{\exists }{o}_k^{\alpha }h(x)\text{ e }\underset{\alpha \to n}{\lim }{o}_k^{\alpha }h(x)=\underset{k}{\overset{n}{\partial }}h(x)\mathrm{\forall }k\ge 1\},$

cujo complemento é:

$O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\{o_x^{\alpha }:\mathrm{\exists }{o}_k^{\alpha }h(x)\mathrm{\forall }k\ge 1\text{ e }\underset{\alpha \to n}{\lim }{o}_k^{\alpha }h(x)\ne \underset{k}{\overset{n}{\partial }}h(x)\text{ para pelo menos um }k\ge 1\}.$

Como consequência, define-se o seguinte conjunto:

$O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^n(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).$

Extensão para Funções Vetoriais

Para uma função $h:\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^m\to {ℝ}^m$, o conjunto é definido como:

${}_m{O}_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\{o_x^{\alpha }:o_x^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h{]}_k)\mathrm{\forall }k\le m\},$

onde $[h{]}_k:\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^m\to ℝ$ denota o $k$-ésimo componente da função $h$.

Conjunto ${}_{m}M{O}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },u}(h)$ de Operadores Fraccionales

O conjunto de operadores fraccionales considerando ordens infinitas é definido como:

${}_{m}M{O}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },u}(h):=\bigcap _{k\in \mathbb{Z}}{}_m{O}_{x,\alpha }^{k,u}(h),$

onde sob o produto de Hadamard clássico temos que:

$o_x^0\circ h(x):=h(x)\mathrm{\forall }{o}_x^{\alpha }\in {}_{m}M{O}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },u}(h).$

Operadores Matriciais Fraccionales

Para cada operador $o_x^{\alpha }$, o operador matricial fraccional é definido como:

$A_{\alpha }(o_x^{\alpha })=([A_{\alpha }(o_x^{\alpha }){]}_{jk})=\left(o_k^{\alpha }\right),$

e para cada operador $o_x^{\alpha }\in {}_{m}M{O}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },u}(h)$, pode-se definir a seguinte matriz, correspondente a uma generalização da matriz Jacobiana:

$A_{h,\alpha }:=A_{\alpha }(o_x^{\alpha })\circ A_{\alpha }^T(h),$

onde $A_{\alpha }(h):=([A_{\alpha }(h){]}_{jk})=([h{]}_k)$.

Produto de Hadamard Modificado

Considerando que, em geral, $o_x^{p\alpha }\circ o_x^{q\alpha }\ne o_x^{(p+q)\alpha }$, define-se o seguinte produto de Hadamard modificado:

$o_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha }:=\{\begin{array}{cc}{o}_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha },& \text{se }i\ne j(\text{produto de Hadamard tipo horizontal})\\ o_{i,x}^{(p+q)\alpha },& \text{se }i=j(\text{produto de Hadamard tipo vertical})\end{array},$

com o qual se obtém o seguinte teorema:

Teorema: Grupo Abeliano de Operadores Matriciais Fraccionales

Seja $o_x^{\alpha }$ um operador fraccional tal que $o_x^{\alpha }\in {}_{m}M{O}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },u}(h)$. Considerando o produto de Hadamard modificado, define-se o seguinte conjunto de operadores matriciais fraccionales:

$\begin{array}{c}{}_{m}G(A_{\alpha }(o_x^{\alpha })):=\{A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }(o_x^{r\alpha }):r\in \mathbb{Z}\text{ e }{A}_{\alpha }^{\circ r}=([A_{\alpha }^{\circ r}{]}_{jk}):=\left(o_k^{r\alpha }\right)\},\end{array}(1)$

que corresponde ao grupo Abeliano gerado pelo operador $A_{\alpha }(o_x^{\alpha })$.

Demonstração

Dado que o conjunto na equação (1) é definido aplicando apenas o produto de Hadamard tipo vertical entre seus elementos, para todos $A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_x^{\alpha }))$ tem-se que:

$A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=([A_{\alpha }^{\circ p}{]}_{jk})\circ ([A_{\alpha }^{\circ q}{]}_{jk})=\left(o_k^{(p+q)\alpha }\right)=([A_{\alpha }^{\circ (p+q)}{]}_{jk})=A_{\alpha }^{\circ (p+q)},$

com o qual é possível demonstrar que o conjunto (1) satisfaz as seguintes propriedades de um grupo Abeliano:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }{A}_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q},A_{\alpha }^{\circ r}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_x^{\alpha })),(A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q})\circ A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }^{\circ p}\circ (A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ r})\\ \mathrm{\exists }{A}_{\alpha }^{\circ 0}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_x^{\alpha }))\text{tal que}\mathrm{\forall }{A}_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_x^{\alpha })),A_{\alpha }^{\circ 0}\circ A_{\alpha }^{\circ p}=A_{\alpha }^{\circ p}\\ \mathrm{\forall }{A}_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_x^{\alpha })),\mathrm{\exists }{A}_{\alpha }^{\circ -p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_x^{\alpha }))\text{tal que}{A}_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ -p}=A_{\alpha }^{\circ 0}\\ \mathrm{\forall }{A}_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_x^{\alpha })),A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ p}\end{array}.$

Conjunto ${}_m{S}_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)$ de Operadores Fraccionales

Seja ${\mathbb{N}}_0$ o conjunto $\mathbb{N}\cup \{0\}$. Se $\gamma \in {\mathbb{N}}_0^m$ e $x\in {ℝ}^m$, então é possível definir a seguinte notação multi-índice:

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\gamma !:=\prod _{k=1}^m[\gamma {]}_k!,& |\gamma |:=\sum _{k=1}^m[\gamma {]}_k,& x^{\gamma }:=\prod _{k=1}^m[x{]}_k^{[\gamma {]}_k}\end{array}\\ \frac{{\partial }^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}:=\frac{{\partial }^{[\gamma {]}_1}}{\partial [x{]}_1}\frac{{\partial }^{[\gamma {]}_2}}{\partial [x{]}_2}\cdots \frac{{\partial }^{[\gamma {]}_m}}{\partial [x{]}_m}\end{array}.$

Então, considerando uma função $h:\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^m\to ℝ$ e o operador fraccional:

$s_x^{\alpha \gamma }\left(o_x^{\alpha }\right):=o_1^{\alpha [\gamma {]}_1}{o}_2^{\alpha [\gamma {]}_2}\cdots o_m^{\alpha [\gamma {]}_m},$

define-se o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

$S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\{s_x^{\alpha \gamma }=s_x^{\alpha \gamma }\left(o_x^{\alpha }\right):\mathrm{\exists }{s}_x^{\alpha \gamma }h(x)\text{com}{o}_x^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^s(h)\mathrm{\forall }s\le n^2\text{e}\underset{\alpha \to k}{\lim }{s}_x^{\alpha \gamma }h(x)=\frac{{\partial }^{k\gamma }}{\partial x^{k\gamma }}h(x)\mathrm{\forall }\alpha ,|\gamma |\le n\}.$

De onde se obtêm os seguintes resultados:

$\text{Se }{s}_x^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)\Rightarrow \{\begin{array}{c}\underset{\alpha \to 0}{\lim }{s}_x^{\alpha \gamma }h(x)=o_1^0{o}_2^0\cdots o_m^{0}h(x)=h(x)\\ \underset{\alpha \to 1}{\lim }{s}_x^{\alpha \gamma }h(x)=o_1^{[\gamma {]}_1}{o}_2^{[\gamma {]}_2}\cdots o_m^{[\gamma {]}_m}h(x)=\frac{{\partial }^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}h(x)\mathrm{\forall }|\gamma |\le n\\ \underset{\alpha \to q}{\lim }{s}_x^{\alpha \gamma }h(x)=o_1^{q[\gamma {]}_1}{o}_2^{q[\gamma {]}_2}\cdots o_m^{q[\gamma {]}_m}h(x)=\frac{{\partial }^{q\gamma }}{\partial x^{q\gamma }}h(x)\mathrm{\forall }q|\gamma |\le qn\\ \underset{\alpha \to n}{\lim }{s}_x^{\alpha \gamma }h(x)=o_1^{n[\gamma {]}_1}{o}_2^{n[\gamma {]}_2}\cdots o_m^{n[\gamma {]}_m}h(x)=\frac{{\partial }^{n\gamma }}{\partial x^{n\gamma }}h(x)\mathrm{\forall }n|\gamma |\le n^2\end{array}.$

Como consequência, considerando uma função $h:\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^m\to {ℝ}^m$, define-se o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

${}_m{S}_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\{s_x^{\alpha \gamma }:s_x^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }([h{]}_k)\mathrm{\forall }k\le m\}.$

Conjunto ${}_m{T}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },\gamma }(a,h)$ de Operadores Fraccionales

Considerando uma função $h:\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^m\to {ℝ}^m$ e o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

${}_m{S}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },\gamma }(h):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{}_m{S}_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h).$

Então, tomando uma bola $B(a;\delta )\subset \mathrm{\Omega }$, é possível definir o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

${}_m{T}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },\gamma }(a,h):=\{t_x^{\alpha ,\mathrm{\infty }}=t_x^{\alpha ,\mathrm{\infty }}\left(s_x^{\alpha \gamma }\right):s_x^{\alpha \gamma }\in {}_m{S}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },\gamma }(h)\text{e}{t}_x^{\alpha ,\mathrm{\infty }}h(x):=\sum _{|\gamma |=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\gamma !}{\hat{e}}_j{s}_x^{\alpha \gamma }[h{]}_j(a)(x-a{)}^{\gamma }\},$

o qual permite generalizar a expansão em série de Taylor de uma função vetorial em notação multi-índice. Como consequência, é possível obter o seguinte resultado:

$\text{Se }{t}_x^{\alpha ,\mathrm{\infty }}\in {}_m{T}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },\gamma }(a,h)\Rightarrow \{\begin{array}{cc}{t}_x^{\alpha ,\mathrm{\infty }}h(x)=& {\hat{e}}_j[h{]}_j(a)+\sum _{|\gamma |=1}\frac{1}{\gamma !}{\hat{e}}_j{s}_x^{\alpha \gamma }[h{]}_j(a)(x-a{)}^{\gamma }+\sum _{|\gamma |=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\gamma !}{\hat{e}}_j{s}_x^{\alpha \gamma }[h{]}_j(a)(x-a{)}^{\gamma }\\ =& h(a)+\sum _{k=1}^n{\hat{e}}_j{o}_k^{\alpha }[h{]}_j(a){[(x-a)]}_k+\sum _{|\gamma |=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\gamma !}{\hat{e}}_j{s}_x^{\alpha \gamma }[h{]}_j(a)(x-a{)}^{\gamma }\end{array}.$

Método de Newton-Raphson Fraccional

Seja $f:\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^m\to {ℝ}^m$ uma função com um ponto $\xi \in \mathrm{\Omega }$ tal que $\Vert f(\xi )\Vert =0$. Então, para algum $x_i\in B(\xi ;\delta )\subset \mathrm{\Omega }$ e um operador fraccional $t_x^{\alpha ,\mathrm{\infty }}\in {}_m{T}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },\gamma }(x_i,f)$, é possível definir um tipo de aproximação linear da função $f$ ao redor de $x_i$ da seguinte maneira:

$t_x^{\alpha ,\mathrm{\infty }}f(x)\approx f(x_i)+\sum _{k=1}^m{\hat{e}}_j{o}_k^{\alpha }[f{]}_j(x_i){[(x-x_i)]}_k,$

o que pode ser expresso de forma mais compacta como:

$t_x^{\alpha ,\mathrm{\infty }}f(x)\approx f(x_i)+(o_k^{\alpha }[f{]}_j(x_i))(x-x_i),$

onde $(o_k^{\alpha }[f{]}_j(x_i))$ denota uma matriz quadrada. Por outro lado, se $x\to \xi$ e dado que $\Vert f(\xi )\Vert =0$, infere-se o seguinte:

$0\approx f(x_i)+(o_k^{\alpha }[f{]}_j(x_i))(\xi -x_i)\Rightarrow \xi \approx x_i-{(o_k^{\alpha }[f{]}_j(x_i))}^{-1}f(x_i).$

Como consequência, definindo a matriz:

$A_{f,\alpha }(x)=([A_{f,\alpha }{]}_{jk}(x)):={(o_k^{\alpha }[f{]}_j(x))}^{-1},$

é possível definir o seguinte método iterativo fraccional:

$x_{i+1}:=\mathrm{\Phi }(\alpha ,x_i)=x_i-A_{f,\alpha }(x_i)f(x_i),i=0,1,2,\cdots ,$

que corresponde ao caso mais geral do método de Newton-Raphson fraccional.

Ilustração de algumas linhas geradas pelo método de Newton–Raphson fraccional para a mesma condição inicial $x_0$, mas com diferentes ordens $\alpha$ do operador fracional implementado. O método de Newton–Raphson fracional geralmente gera linhas que não são tangentes à função $f$ cujas raízes estão sendo procuradas, ao contrário do método clássico de Newton–Raphson. Fonte: MDPI

O uso de operadores fraccionales em métodos de ponto fixo tem sido amplamente estudado e citado em várias fontes acadêmicas. Exemplos disso podem ser encontrados em vários artigos publicados em revistas renomadas, como os apresentados em ScienceDirect , , Springer , World Scientific , e MDPI , , , , , , , . Estudos também estão incluídos de Taylor & Francis (Tandfonline) , Cubo , Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas , Journal of Research and Creativity , MQR , e Актуальные вопросы науки и техники . Estes trabalhos destacam a relevância e aplicabilidade dos operadores fraccionales na solução de problemas.

Predefinição:Listaref

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