Decomposição em frações parciais

Predefinição:Mais fontes Em álgebra, Decomposição em frações parciais ou Expansão em frações parciais é um método que permite decompor expressões racionais, isto é, quocientes de dois polinômios, em uma soma de frações mais simples, chamadas frações parciais. É um recurso matemático muito utilizado na simplificação de problemas envolvendo integrais e transformadas de Laplace.

Dada uma função racional $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, em que $P(x)$ e $Q(x)$ são polinômios tais que o grau de Q seja maior que o grau de P, têm-se que:

1) Decomposição de fator linear $x-a$ com multiplicidade n.

$R(x)=\frac{P(x)}{(x-a{)}^n}=\frac{A_1}{(x-a)}+\frac{A_2}{(x-a{)}^2}+...+\frac{A_n}{(x-a{)}^n}$

Exemplo:

$R(x)=\left(\frac{x+1}{x*(x+2{)}^2}\right)=\left(\frac{A}{x}\right)+\left(\frac{B}{x+2}\right)+\left(\frac{C}{(x+2{)}^2}\right)$

Decompomos o denominador acima no maior número de frações possíveis.

$=\left(\frac{A(x+2{)}^2+Bx(x+2)+Cx}{x(x+2{)}^2}\right)=\left(\frac{(A{x}^2+4Ax+4A)+(B{x}^2+2Bx)+Cx}{x(x+2{)}^2}\right)$

Rearrumando os termos do numerador:

$=\left(\frac{x^2(A+B)+x(4A+2B+C)+4A}{x(x+2{)}^2}\right)$

A fim de criar um sistema envolvendo os coeficientes das potências de $x$ e o numerador original, reagrupamos os termos.

$\{\begin{array}{c}A+B=0\\ 4A+2B+C=1\\ 4A=1\end{array}$

Resolvendo o sistema, temos que A= 1/4 B= -1/4 e C= 1/2

Portanto a nova fração é dada por:

$\left(\frac{1}{4x}\right)-\left(\frac{1}{4(x+2)}\right)+\left(\frac{1}{2(x+2{)}^2}\right)$

2) Decomposição de um fator quadrático irredutível $(x-a{)}^2+b^2$ com multiplicidade n:

$R(x)=\frac{P(x)}{[(x-a{)}^2+b^2{]}^n}=\frac{A_1*x+B_1}{[(x-a{)}^2+b^2]}+\frac{A_2*x+B_2}{[(x-a{)}^2+b^2{]}^2}+...+\frac{A_n*x+B_n}{[(x-a{)}^2+b^2{]}^n}$

3) Podemos também decompor frações em denominadores simples, primos e irredutíveis:

Exemplo:

$\left(\frac{1}{18}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{1}{3^2}\right)$

4) Outra técnica utilizada é a técnica dos limites ou método de Heaviside:

Exemplo:

$R(x)=\left(\frac{x^2+3x-4}{(x+3)(x+2)(x-2)}\right)$

Podemos reescrever a fração como;

$\left(\frac{A}{x+3}\right)+\left(\frac{B}{x-2}\right)+\left(\frac{C}{x+2}\right)$

Agora usamos os limites para determinar os coeficientes.

$A=\underset{x\to -3}{\lim }\left(\frac{x^2+3x-4}{(x-2)(x+2)}\right)=\left(\frac{9-9-4}{(-5)(-1)}\right)=-\left(\frac{4}{5}\right)$

$B=\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{x^2+3x-4}{(x+3)(x+2)}\right)=\left(\frac{4+6-4}{(5)(4)}\right)=\left(\frac{3}{10}\right)$

$C=\underset{x\to -2}{\lim }\left(\frac{x^2+3x-4}{(x+3)(x-2)}\right)=\left(\frac{4-6-4}{(1)(-4)}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)$

Logo a nova expressão é dada por:

$-\left(\frac{4}{5(x+3)}\right)+\left(\frac{3}{10(x-2)}\right)+\left(\frac{3}{2(x+2)}\right)$

Frações parciais em Laplace

Muitas vezes, ao tentar calcular a transformada inversa de uma F(s), nos deparamos com um polinômio de alto grau não sendo fácil determinar a sua f(t). A partir disso, um método para solucionar essa questão é o uso de frações parciais, que possibilitam reescrever o polinômio de uma maneira em que ele tenha apenas um grau ou dois, sendo fácil, então, determinar sua transformada inversa.

Por exemplo:

Sendo $F(s)=\frac{1}{(s-1)(s^2+1)}$

Utilizando frações parciais podemos escrevê-la como $F(s)=\frac{A}{(s-1)}+\frac{B+Cs}{(s^2+1)}$

e então como

$F(s)=\frac{A(s^2+1)+(B+Cs)(s-1)}{(s-1)(s^2+1)}$

Chegando, então, ao seguinte sistema:

$\{\begin{array}{c}A+C=0\\ B-C=0\\ A-B=1\end{array}\begin{array}{cc}& \\ & \\ & \end{array}$

Ao resolvê-lo, chegamos em $A=\frac{1}{2}$ e $B=C=-\frac{1}{2}$

Dessa forma, $F(s)=\frac{1}{2}(\frac{1}{(s-1)}-\frac{s+1}{(s^2+1)})$ que é equivalente à $F(s)=\frac{1}{2}(\frac{1}{(s-1)}-\frac{s}{(s^2+1)}-\frac{1}{(s^2+1)})$

Com isso, ao utilizarmos frações parciais, chegamos em uma expressão que contém apenas transformadas inversas conhecidas e tabeladas, podendo ser facilmente determinada:

$f(t)=\frac{1}{2}(e^t-\cos (t)-sen(t))$