Disjunção lógica

Predefinição:Operações Matemáticas Predefinição:Nota: Disjunção, operador ou (Predefinição:Lang-en), é uma operação lógica utilizada em lógicas digitais e lógicas matemáticas. Seu operador é o símbolo ∨. Em algumas linguagens de programação, o operador normalmente é uma barra vertical (|), e em outras a disjunção é representada por duas barras verticais (||). Pode ainda ser representada pelo símbolo da soma. A disjunção está intimamente relacionada com a operação de união de conjuntos.

A disjunção pode também ser exclusiva, o que não se relaciona com este artigo (ver disjunção exclusiva, XOR).

Definição

Em lógica binária, ocorrem apenas dois estados:

• Verdadeiro, representado pela letra V, ou pelo número 1.
• Falso, representado pela letra F, ou pelo número 0.

A disjunção é uma operação que verifica a seguinte tabela de verdade:

a	b	a ∨ b
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

ou de forma equivalente

a	b	a ∨ b
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Portanto pode ainda ser representada pela soma, que dá o mesmo resultado, se a e b forem 0 ou 1, excepto que se assume também "1+1=1" (ou seja, esta soma disjuntiva tem um significado algébrico de a∨b ≡ a + b - ab).

Outra interpretação é a da lógica fuzzy, que generaliza pela equivalência com o máximo(a,b).

União de conjuntos

A operação de disjunção lógica está ainda relacionada com a união de conjuntos.

Um elemento está na união dos conjuntos quando for verdade que está nalgum deles.

Segue a representação dessa operação no diagrama de Venn.

Conjunção semântica

A operação lógica da disjunção funciona de forma semelhante à conjunção semântica ou.

Suponham-se duas frases quaisquer:

$a\equiv est\acute{a}chovendol\acute{a}fora$

$b\equiv euestoudentrodecasa$

$a\vee b\equiv (est\acute{a}chovendol\acute{a}fora)ou(euestoudentrodecasa)$

A disjunção é verdadeira se alguma das frases o for.

No entanto, como a linguagem pode ser ambígua, nem sempre as conjunções semânticas têm este significado matemático: este ou pode significar uma disjunção exclusiva.

Propriedades

A conjunção relaciona dois valores, mas usando o seu resultado podem ser feitas operações com mais valores.

Com uma tabela de verdade pode demonstrar-se a propriedade associativa

$((a\vee b)\vee c)$ é igual a $(a\vee (b\vee c))$

e portanto neste caso basta escrever

$a\vee b\vee c$

sem necessidade de parentesis, já que o resultado é o mesmo.

A conjunção lógica tem diversas propriedades. Destacam-se:

• $a\vee b\equiv b\vee a:$ (comutatividade)
• $(a\vee b)\vee c\equiv a\vee (b\vee c):$ (associatividade)
• $a\vee b\equiv \mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }a\wedge \mathrm{\neg }b):$ (leis de De Morgan)
• $a\vee \mathrm{\neg }a\equiv 1:$ (universalidade)
• $a\vee 0\equiv a:$ (a falsidade é o elemento neutro da disjunção)
• $a\vee 1\equiv 1:$ (a verdade é o elemento absorvente da disjunção)

Ver também

• Conjunção lógica
• Disjunção exclusiva