Distância entre duas retas paralelas

Predefinição:Sem notas A distância entre duas retas paralelas no plano é a distância mínima entre quaisquer dois pontos.

Fórmula e demonstração

Como as retas são paralelas, a distância perpendicular entre elas é uma constante, portanto não importa qual ponto é escolhido para medir a distância. Dadas as equações de duas retas paralelas não verticais na forma reduzida

$y=mx+n_1$

$y=mx+n_2,$

a distância entre as duas linhas é a distância entre os dois pontos de interseção dessas linhas com a linha perpendicular

$y=-x/m.$

Essa distância pode ser encontrada resolvendo os sistemas lineares

$\{\begin{array}{c}y=mx+n_1\\ y=-x/m,\end{array}$

e

$\{\begin{array}{c}y=mx+n_2\\ y=-x/m\end{array}$

para obter as coordenadas dos pontos de intersecção. As soluções dos sistemas lineares são os pontos

$(x_1,y_1)=(\frac{-n_{1}m}{m^2+1},\frac{n_1}{m^2+1}),$

e

$(x_2,y_2)=(\frac{-n_{2}m}{m^2+1},\frac{n_2}{m^2+1}).$

A distância entre os pontos é

$d=\sqrt{{\left(\frac{n_{1}m-n_{2}m}{m^2+1}\right)}^2+{\left(\frac{n_2-n_1}{m^2+1}\right)}^2},$

que se reduz a

$d=\frac{|n_2-n_1|}{\sqrt{m^2+1}}.$

Quando as linhas dadas são da forma geral

$ax+by+c_1=0$

$ax+by+c_2=0,$

a distância entre elas pode ser expressa como

$d=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Ver também

• Distância de um ponto a uma linha

Referências

• Abstand In: Schülerduden – Mathematik II . Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 2004,Predefinição:ISBN, pp. 17-19 Predefinição:De
• Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra . Diesterweg, 1988,Predefinição:ISBN, pág. 298 Predefinição:De

Ligações externas

• Florian Modler: Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung – Wann welche Formel?, pp. 44-59 Predefinição:De
• AJ Hobson: “APENAS AS MATEMÁTICAS” - UNIDADE NÚMERO 8.5 - VETORES 5 (Equações vetoriais de retas), pp. 8-9