Distribuição multinomial

Em probabilidade e estatística, a distribuição multinomial é uma generalização da distribuição binomial para casos onde temos mais de dois possíveis resultados, sendo assim é uma distribuição de probabilidade discreta e multivariada.

Predefinição:Mínimo Temos um total de $n$ objetos/itens separados independentemente em $k>2$ categorias/tipos, um item é da categoria $j=1,2,...,k$ com probabilidade $p_j$ não-nula onde $\sum _{j=1}^k{p}_j=1$, além disso dizemos que $X_j$ é a quantidade de itens na categoria $j$ onde $\sum _{j=1}^k{X}_j=X_1+...+X_k=n$. Como se trata de um caso multivariado dizemos que o vetor aleatório $𝑿:=(X_1,X_2,...,X_k)$ tem distribuição multinomial e denotamos $X\sim Multinomia{l}_k(n,𝒑)$ onde $𝒑:=(p_1,p_2,...,p_k)\in {ℝ}_{+}^k$.

Função massa de probabilidade (conjunta) multinomial:

$P(X_1=n_1,...,X_k=n_k):=\frac{n!}{n_1...n_k}{p}_1^{n_1}...p_k^{n_k}$

Onde as reticências indicam um produtório e $n_1+...+n_k=n$.