Distribuição triangular

Em probabilidade e estatística, a distribuição triangular é a distribuição de probabilidade contínua que possui um valor mínimo a, um valor máximo b e uma moda c, de modo que a função densidade de probabilidade é zero para os extremos (a e b), e afim entre cada extremo e a moda, de forma que o gráfico dela é um triângulo.

A distribuição triangular é uma distribuição muito simples e útil quando se tem poucos dados, conhecendo-se um valor mínimo (a), um valor máximo (b) e um valor mais provável (c) é possível obter uma distribuição triangular que resulta em uma boa aproximação das probabilidades de ocorrência do evento X.

Densidade

A função densidade de probabilidade é:

$f(x|a,b,c)=\{\begin{array}{cc}\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}& \text{for }a\le x<c\\ & \\ \frac{2}{b-a}& \text{for }x=c\\ & \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}& \text{for }c<x\le b\\ & \\ 0& \text{for any other case}\end{array}$

Características da distribuição

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• Parâmetros: $a:a\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$
  $b:b>a$
  $c:a\le c\le b$
• Suporte: $a\le x\le b$
• Função de probabilidade acumulada: =$\{\begin{array}{cc}\frac{(x-a{)}^2}{(b-a)(c-a)}& \text{for }a\le x<c\\ & \\ \frac{c-a}{b-a}& \text{for }x=c\\ & \\ 1-\frac{(b-x{)}^2}{(b-a)(b-c)}& \text{for }c<x\le b\end{array}$Um exemplo prático da aplicação da distribuição uniforme pode ser conforme segue abaixo: Digamos que uma determinada empresa precise fazer um investimento, por qualquer que seja o motivo a empresa não conhece exatamente o montante desse investimento, mas conhece o valor mais provável e também os valores mínimo e máximo. Ela estima um valor mais provável para esse investimento em R$2.000.000,00, e estima que o valor mínimo que esse investimento pode assumir é 80% do valor mais provável e que o valor máximo que esse investimento pode assumir é 105% do valor mais provável. Nesse caso temos: c=2.000.000 a=1.600.000 b=2.100.000 Qual seria a probabilidade desse investimento ser de até R$1.800.000,00 ?

$F(x<1.800.000)=((1.800.000-1.600.000{)}^2)/(2.100.000-1.600.000)*(2.000.000-1.600.000)$

$F(x<1.800.000)=0,2$

$F(x<1.800.000)=20\mathrm{\%}$

Média: $\frac{a+b+c}{3}$

• Mediana: $\{\begin{array}{cc}a+\frac{\sqrt{(b-a)(c-a)}}{\sqrt{2}}& \text{for }c\ge \frac{b+a}{2}\\ & \\ b-\frac{\sqrt{(b-a)(b-c)}}{\sqrt{2}}& \text{for }c\le \frac{b+a}{2}\end{array}$
• Moda: $c$
• Variância: $\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}$
• Obliquidade: $\frac{\sqrt{2}(a+b-2c)(2a-b-c)(a-2b+c)}{5(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc{)}^{\frac{3}{2}}}$
• Curtose: $-\frac{3}{5}$
• Entropia: $\frac{1}{2}+\ln \left(\frac{b-a}{2}\right)$
• Função geradora de momentos: $2\frac{(b-c)e^{at}-(b-a)e^{ct}+(c-a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$
• Função característica: $-2\frac{(b-c)e^{iat}-(b-a)e^{ict}+(c-a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$

Uso da distribuição

A Distribuição Triangular é normalmente usada quando existe uma ideia subjetiva da população, através dos seus extremos e da sua moda.

Ligações externas

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