Divisibilidade
Em aritmética e teoria dos números, diz-se que um número inteiro não nulo divide um inteiro , se existe um inteiro , tal que . Se divide , é chamado múltiplo de , e é chamado divisor de . Se divide usa-se o símbolo: .
Formalmente, escreve-se que: é divisor de
Propriedades da divisibilidade
- Se é um inteiro diferente de , temos que: divide ;
- Se é um inteiro, temos que: ;
- Se é um inteiro, temos que: ;
- Se a|1, temos que: a = +1 ou -1;
- Se a|b e c|d, temos que: ac|bd;
- Se a|b e b|c, temos que: a|c;
- Se a|b e b|a, temos que: a = b ou a = -b;
- Se a|b e b é diferente de 0, temos que: |b| > |a| ou |b| = |a|;
- Se a|b e a|c, então: a|bx + cy onde x e y são quaisquer inteiros;
- Se a|b e a|b + c ou a|b - c, temos que: a|c;
- Se ab|ac então: b|c;
- Se b|c, então: ab|ac;
- Se a|b, então (b/a)|b.
Algoritmo da divisão
Teorema: Dados dois números inteiros a e b, b ≠ 0 existe um único par de inteiros q e r tais que:
a = qb + r
Demonstração
Provaremos para b > 0. Pelo Teorema de Eudoxianos, sejam dois inteiros a e b, b ≠ 0, então ou a é divisor de b ou se encontra entre dois múltiplos de b, ou seja,
qb ≤ a < (q + 1)b
segue deste teorema que
0 ≤ a - qb < b
definimos então um inteiro r = a - qb e fica provada a existência de r e q. Resta-nos agora provar a unicidade de r e q. Suponha que exista e que satisfaça a = b + temos
(qb + r) - (b + ) = 0
(q - )b = ( - r)
então
b | ( - r) (b divide ( - r))
Como < b e r < b, segue que | - r| < b, concluímos que
- r = 0 ⇒ = r
e
(q - )b = 0
qb = ⇒ q =
Provada a unicidade. Por analogia, provamos também para b < 0.
Exemplos
- 34/7 tem quociente 4 e resto 6 → 34 = 4*7 + 6
- 25/3 tem quociente 8 e resto 1 → 25 =3*8 + 1