Drawdown

O drawdown é a medida do declínio de um pico histórico em alguma variável (normalmente o lucro cumulativo ou o patrimônio líquido total de uma estratégia de negociação financeira).

Drawdown expressa quanto foi a queda do valor de um ativo em relação a sua cotação máxima. Dessa forma, o indicador pode ser utilizado para representar quanto dinheiro o investidor perdeu, em termos percentuais, em determinado ativo durante um período.

Ou seja, em termos técnicos, o drawdown representa a porcentagem da queda desde o mais recente ponto máximo de lucro, o qual é sujeito a acumulação.

Assim, observar o drawdown de um ativo pode ser um indicador essencial para definir e monitorar estratégias de investimento nos mercados financeiros. Isso devido ao fato dele indicar o quão estável ou instável se mostra um ativo.

Um pouco mais formalmente, se $X(t),t\ge 0$ é um processo estocástico com $X(0)=0$, a redução na hora $T$, denotado $D(T)$, é definido como:$$D(T)=\max [\underset{t\in (0,T)}{\max }X(t)-X(T),0]\equiv {[\underset{t\in (0,T)}{\max }X(t)-X(T)]}_{+}$$O médio drawdown (AvDD) até o momento $T$ é a média de tempo de rebaixamentos que ocorreram até o momento $T$:$$\mathrm{AvDD}(T)=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}D(t)dt$$O máximo drawdown (MDD) até o momento $T$ é o máximo do drawdown ao longo do histórico da variável. Mais formalmente, o MDD é definido como:$$\mathrm{MDD}(T)=\underset{\tau \in (0,T)}{\max }D(\tau )=\underset{\tau \in (0,T)}{\max }[\underset{t\in (0,\tau )}{\max }X(t)-X(\tau )]$$

Pseudocódigo

O pseudocódigo a seguir calcula o drawdown ("DD") e o máximo drawdown ("MDD") da variável "NAV", o valor líquido do ativo de um investimento. O drawdown e o máximo drawdown são calculados como porcentagens:

MDD = 0
peak = -99999
for i = 1 to N step 1 do
    # peak será o valor máximo visto até o momento (0 a i), sendo atualizado apenas quando um NAV mais alto for detectado
    if (NAV[i] > peak) then
        peak = NAV[i]
    end if
    DD[i] = 100.0 × (peak - NAV[i]) / peak
    # Da mesma forma que a variável peak, o MDD mantém o controle do rebaixamento máximo até o momento, sendo somente atualizado quando um DD maior for detectado.
    if (DD[i] > MDD) then
        MDD = DD[i]
    end if
end for

Otimização do drawdown

Um rápido vislumbre sobre a definição matemática de drawdown sugere dificuldade significativa em usar uma estrutura de otimização para minimizar a quantidade, sujeita a outras restrições; isso se deve à natureza não convexa do problema. No entanto, existe uma maneira de transformar o problema de minimização do drawdown em um programa linear.

Os autores começam propondo uma função auxiliar ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }(x)$, onde $x\in {ℝ}^p$ é um vetor de retornos de portfólio, que é definido por:$${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }(x)=\underset{\zeta }{\min }\{\zeta +\frac{1}{(1-\alpha )T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}[D(x,t)-\zeta {]}_{+}dt\}$$Eles chamam isso de drawdown condicional em risco (CDaR); isso é um aceno para o valor em risco condicional (CVaR), que também pode ser otimizado usando a programação linear. Existem dois casos limites a serem considerados:

• $\underset{\alpha \to 0}{\lim }{\mathrm{\Delta }}_{\alpha }(x)$ é o médio drawdown
• $\underset{\alpha \to 1}{\lim }{\mathrm{\Delta }}_{\alpha }(x)$ é o máximo drawdown