Equação de Raychaudhuri

Na relatividade geral, a equação de Raychaudhuri, ou equação de Landau-Raychaudhuri, é um resultado fundamental que descreve o movimento de porções de matéria próximas. A equação oferece uma validação simples e geral de nossa expectativa intuitiva de que a gravitação deveria ser uma força atrativa universal entre quaisquer duas porções de massa-energia na relatividade geral, como é na teoria da gravitação de Newton.

A equação foi descoberta independentemente pelo físico indiano Amal Kumar Raychaudhuri e pelo físico soviético Lev Landau.

Declaração matemática

Dado um campo vectorial de unidade de tempo $\overrightarrow{X}$ (que pode ser interpretado como uma família ou congruência de linhas do universo não-interceptadas através da curva integral, não necessariamente geodésicas), a equação de Raychaudhuri pode ser escrita

$\dot{\theta }=-\frac{{\theta }^2}{3}-2{\sigma }^2+2{\omega }^2-{E[\overrightarrow{X}{]}^a}_a+{{\dot{X}}^a}_{;a}$

onde

${\sigma }^2=\frac{1}{2}{\sigma }_{mn}{\sigma }^{mn},{\omega }^2=\frac{1}{2}{\omega }_{mn}{\omega }^{mn}$

são (não-negativas) invariantes quadráticas do tensor de cisalhamento

${\sigma }_{ab}={\theta }_{ab}-\frac{1}{3}\theta h_{ab}$

e o tensor de vorticidade

${\omega }_{ab}={h^m}_a{h^n}_b{X}_{[m;n]}$

respectivamente. Aqui,

${\theta }_{ab}={h^m}_a{h^n}_b{X}_{(m;n)}$

é o tensor de expansão, $\theta$ é o seu traço, chamado de escalar de expansão, e

$h_{ab}=g_{ab}+X_a{X}_b$

é o tensor de projeção nos hiperplanos ortogonais a $\overrightarrow{X}$. Além disso, o ponto denota diferenciação em relação ao tempo próprio contado ao longo das linhas do universo na congruência. Finalmente, o traço do tensor das marés $E[\overrightarrow{X}{]}_{ab}$ também pode ser escrito

${E[\overrightarrow{X}{]}^a}_a=R_{mn}{X}^m{X}^n$

Esta quantidade é às vezes chamada de Escala de Raychaudhuri.