Equação de Riccati

A equação de Riccati, cujo nome é uma homenagem ao Conde Jacopo Francesco Riccati, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:

$\frac{dy}{dx}=a(x)+b(x)y+c(x)y^2$

onde $a(x)$, $b(x)$ e $c(x)$ são três funções que dependem de $x$.

Se conhecermos uma solução particular da equação, por exemplo $y_1$, a seguinte mudança de variável transformará a equação em equação linear

$y=y_1+\frac{1}{v}⟹\frac{dy}{dx}=\frac{d{y}_1}{dx}-\frac{1}{v^2}\frac{dv}{dx}$

Exemplo

Encontre a solução geral da seguinte equação sabendo que $y_1(x)$ é solução particular

$y^{\prime }=e^x{y}^2-y+e^{-x},y_1(x)=-e^{-x}\cot x$

Trata-se de uma equação de Riccati e para a resolver usamos a seguinte substituição

$y=y_1+\frac{1}{v}⟹y^{\prime }={y_1}^{\prime }-\frac{v^{\prime }}{v^2}$

É conveniente não substituir $y_1$ pela função dada, já que o fato desta ser solução da equação simplificará os resultados. Substituindo na equação de Riccati obtemos

${y_1}^{\prime }-\frac{v^{\prime }}{v^2}=e^x(y_1^2+2\frac{y_1}{v}+\frac{1}{v^2})-y_1-\frac{1}{v}+e^{-x}\Rightarrow v^2({y_1}^{\prime }-e^x{y}_1^2+y_1-e^{-x})=v^{\prime }+(2y_1{e}^x-1)v+e^x$

Como $y_1$ é solução, o termo nos parênteses no lado esquerdo é zero e obtém-se a seguinte equação linear para $v(x)$

$v^{\prime }-(2\cot x+1)v=-e^x$

O fator integrante desta equação linear é

$\mu (x)=\exp \int (-1-2\cot x)dx=\exp [-x-2\ln (\sin x)]=\frac{e^{-x}}{{\sin }^{2}x}$

Multiplicando os dois lados da equação linear por $\mu$ e seguindo os passos explicados na seção sobre equações lineares

$\begin{array}{ccc}& & \mu v^{\prime }-(2\cot x+1)\mu v=-{\csc }^{2}x\\ & & \frac{d}{dx}(uv)=-{\csc }^{2}x\\ & & uv=\cot x+c\\ & & v=e^x{\sin }^{2}x(\cot x+c)=e^x\sin x(\cos x+c\sin x)\\ & & y=y_1+\frac{1}{v}=\frac{e^{-x}}{\sin x}(-\cos x\frac{1}{\cos x+c\sin x})\\ & & y=e^{-x}\frac{\sin x-c\cos x}{\cos x+c\sin x}\end{array}$

A solução geral está constituída por esta última família de funções, junto com a solução particular $y_1$

Ver também

• Equação diferencial
• Equação diferencial linear
• Equação diferencial de Bernoulli