Equações de Maxwell em espaço-tempo curvo

Na física, as equações de Maxwell no espaço-tempo curvo governam a dinâmica do campo eletromagnético no espaço-tempo curvo (onde a métrica não pode ser a métrica de Minkowski) ou quando se usa um sistema , não necessariamente cartesiano, arbitrário de coordenadas. Estas equações podem ser vistas como uma generalização das equações de Maxwell, que são normalmente formuladas nas coordenadas locaisPredefinição:Nota de rodapé do espaço-tempo plano. Entretanto porque a relatividade geral dita que a presença de campos eletromagnéticos (ou energia/matéria em geral) induzem curvatura do espaço-tempo, as equações de Maxwell no espaço-tempo plano devem ser vistas como uma aproximação.

Campo electromagnético

O campo electromagnético é um tensor antissimétrico covariante de classe 2, que pode ser definido em termos de potencial electromagnético por

$F_{\alpha \beta }={\partial }_{\alpha }{A}_{\beta }-{\partial }_{\beta }{A}_{\alpha }.$

Para verificar que esta equação é invariante, podemos transformar as coordenadas (tal como descrito no tratamento clássico de tensores)

$\begin{array}{cc}{\overline{F}}_{\alpha \beta }& =\frac{\partial {\overline{A}}_{\beta }}{\partial {\overline{x}}^{\alpha }}-\frac{\partial {\overline{A}}_{\alpha }}{\partial {\overline{x}}^{\beta }}\\ & =\frac{\partial }{\partial {\overline{x}}^{\alpha }}\left(\frac{\partial x^{\gamma }}{\partial {\overline{x}}^{\beta }}{A}_{\gamma }\right)-\frac{\partial }{\partial {\overline{x}}^{\beta }}\left(\frac{\partial x^{\delta }}{\partial {\overline{x}}^{\alpha }}{A}_{\delta }\right)\\ & =\frac{{\partial }^2{x}^{\gamma }}{\partial {\overline{x}}^{\alpha }\partial {\overline{x}}^{\beta }}{A}_{\gamma }+\frac{\partial x^{\gamma }}{\partial {\overline{x}}^{\beta }}\frac{\partial A_{\gamma }}{\partial {\overline{x}}^{\alpha }}-\frac{{\partial }^2{x}^{\delta }}{\partial {\overline{x}}^{\beta }\partial {\overline{x}}^{\alpha }}{A}_{\delta }-\frac{\partial x^{\delta }}{\partial {\overline{x}}^{\alpha }}\frac{\partial A_{\delta }}{\partial {\overline{x}}^{\beta }}\\ & =\frac{\partial x^{\gamma }}{\partial {\overline{x}}^{\beta }}\frac{\partial x^{\delta }}{\partial {\overline{x}}^{\alpha }}\frac{\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}-\frac{\partial x^{\delta }}{\partial {\overline{x}}^{\alpha }}\frac{\partial x^{\gamma }}{\partial {\overline{x}}^{\beta }}\frac{\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}\\ & =\frac{\partial x^{\delta }}{\partial {\overline{x}}^{\alpha }}\frac{\partial x^{\gamma }}{\partial {\overline{x}}^{\beta }}(\frac{\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}-\frac{\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }})\\ & =\frac{\partial x^{\delta }}{\partial {\overline{x}}^{\alpha }}\frac{\partial x^{\gamma }}{\partial {\overline{x}}^{\beta }}{F}_{\delta \gamma }.\end{array}$

Esta definição implica que o campo electromagnético satisfaz

${\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{F}_{\nu \lambda }+{\partial }_{\nu }{F}_{\lambda \mu }=0$

que incorpora a lei de indução de Faraday e lei de Gauss para o magnetismo. Isto é demonstrado por

${\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{F}_{\nu \lambda }+{\partial }_{\nu }{F}_{\lambda \mu }$

$={\partial }_{\lambda }{\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\lambda }{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }+{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{A}_{\lambda }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\lambda }{A}_{\nu }+{\partial }_{\nu }{\partial }_{\lambda }{A}_{\mu }-{\partial }_{\nu }{\partial }_{\mu }{A}_{\lambda }=0.$

Embora parece ter 64 equações em Faraday-Gauss, elas realmente reduzem-se a apenas quatro equações independentes . Utilizando a antisimetria do campo electromagnético pode-se reduzir a uma identidade (0 = 0) ou tornar redundante todas as equações, com excepção para aqueles com λ, μ, ν = 1,2,3; ou 2,3,0; ou 3,0,1; ou 0,1,2.

A equação de Faraday-Gauss é por vezes escrita

$F_{[\mu \nu ;\lambda ]}=F_{[\mu \nu ,\lambda ]}=\frac{1}{6}({\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{F}_{\nu \lambda }+{\partial }_{\nu }{F}_{\lambda \mu }-{\partial }_{\lambda }{F}_{\nu \mu }-{\partial }_{\mu }{F}_{\lambda \nu }-{\partial }_{\nu }{F}_{\mu \lambda })$

$=\frac{1}{3}({\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{F}_{\nu \lambda }+{\partial }_{\nu }{F}_{\lambda \mu })=0$

onde o ponto e vírgula indica uma derivada covariante, vírgula indica uma derivada parcial, e colchetes indicam anti-simetrização (Veja Gregorio Ricci-Curbastro). A derivada covariante do campo eletromagnético é

$F_{\alpha \beta ;\gamma }=F_{\alpha \beta ,\gamma }-{{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }}_{\alpha \gamma }{F}_{\mu \beta }-{{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }}_{\beta \gamma }{F}_{\alpha \mu }$

onde Γ^α_{β γ} é o símbolo de Christoffel que é simétrico em seus índices mais baixos.