Estado BPS

O Estado BPS (em homenagem a Eugène Bogomolny, Prasad Manoj, e Sommerfield Charles), também conhecido como Limite de Bogomolny-Prasad-Sommerfield, é uma série de desigualdades de soluções de equações diferenciais parciais, dependendo da classe de homotopia da solução no infinito. Este conjunto de desigualdades é muito útil para a resolução de equações de sóliton. Muitas vezes, ao insistir que o limite seja satisfeito ("saturado"), pode-se chegar a um simples conjunto de equações diferenciais parciais para resolver as equações de Bogomolny. Saturando soluções o limite são chamados estados BPS e desempenham um papel importante na teoria de campo e teoria das cordas.

A energia a um determinado tempo t é dada por

$E=\int d^{3}x[\frac{1}{2}\stackrel{T}{\overrightarrow{D\phi }}\cdot \overrightarrow{D\phi }+\frac{1}{2}{\pi }^T\pi +V(\phi )+\frac{1}{2g^2}\mathrm{Tr}[\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{E}+\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{B}]]$

em que D é a derivada covariante e V é o potencial. Se supusermos que V for não negativo e é igual a zero apenas para o vácuo de Higgs e que o campo de Higgs é na representação adjunta, então

$\begin{array}{cc}E& \ge \int d^{3}x[\frac{1}{2}\mathrm{Tr}[\overrightarrow{D\phi }\cdot \overrightarrow{D\phi }]+\frac{1}{2g^2}\mathrm{Tr}[\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{B}]]\\ & \ge \int d^{3}x\mathrm{Tr}[\frac{1}{2}{(\overrightarrow{D\phi }\mp \frac{1}{g}\overrightarrow{B})}^2\pm \frac{1}{g}\overrightarrow{D\phi }\cdot \overrightarrow{B}]\\ & \ge \pm \frac{1}{g}\int d^{3}x\mathrm{Tr}[\overrightarrow{D\phi }\cdot \overrightarrow{B}]\\ & =\pm \frac{1}{g}\underset{S^2\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}}{\int }\mathrm{Tr}[\phi \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S}].\end{array}$

Portanto,

$E\ge \Vert \underset{S^2}{\int }\mathrm{Tr}[\phi \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S}]\Vert .$

A saturação acontece quando

$\pi =0$

e

$\overrightarrow{D\phi }\mp \frac{1}{g}\overrightarrow{B}=0$

Exemplos:

• Equações de Yang-Mills-Higgs
• Instanton