Excursão browniana

Uma ocorrência de excursão browniana.

Em teoria das probabilidades, uma excursão browniana é um processo estocástico intimamente relacionado com um processo de Wiener (ou movimento browniano). Ocorrências de excursão browniana são essencialmente simples ocorrências de um processo de Wiener impelidas a satisfazer certas condições. Em particular, uma excursão browniana é um processo de Wiener condicionado a ser positivo e assumir o valor 0 no tempo 1. Alternativamente, é uma ponte browniana condicionada a ser positiva. Excursões brownianas são importantes porque, dentre outras razões, surgem naturalmente como o processo limite de uma quantidade de teoremas centrais do limite funcionais condicionais.

Definição

Uma excursão browniana $e$ é um processo de Wiener condicionado a ser positivo e assumir o valor 0 no tempo 1. Alternativamente, é uma ponte browniana condicionada a ser positiva.

Outra representação de uma excursão browniana $e$ em termos de um movimento browniano $W$ (proposta por Paul Lévy e notada por Kiyoshi Itō e Henry P. McKean Jr.) se refere ao último tempo ${\tau }_{-}$ em que $W$ atinge zero antes do tempo 1 e o primeiro tempo ${\tau }_{+}$ em que $W$ atinge zero depois do tempo 1:

$\{e(t):0\le t\le 1\}\stackrel{d}{=}\{\frac{|W((1-t){\tau }_{-}+t{\tau }_{+})|}{\sqrt{{\tau }_{+}-{\tau }_{-}}}:0\le t\le 1\}.$

Considere ${\tau }_m$ o tempo em que a ponte browniana $W_0$ atinge seu mínimo em $[0,1]$. Em 1979, Wim Vervat mostrou que:

$\{e(t):0\le t\le 1\}\stackrel{d}{=}\{W_0({\tau }_m+tmod1)-W_0({\tau }_m):0\le t\le 1\}.$

Propriedades

A representação de Vervaat de uma excursão browniana tem várias consequências para diversas funções de $e$. Em particular,

$M_{+}\equiv \underset{0\le t\le 1}{\sup }e(t)\stackrel{d}{=}\underset{0\le t\le 1}{\sup }{W}_0(t)-\underset{0\le t\le 1}{\inf }{W}_0(t),$

o que também pode ser derivado por cálculos explícitos, e

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}e(t)dt\stackrel{d}{=}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{W}_0(t)dt-\underset{0\le t\le 1}{\inf }{W}_0(t).$

O seguinte resultado se aplica:

$E{M}_{+}=\sqrt{\pi /2}\approx 1.25331\dots ,$

E os seguintes valores para o segundo momento e a variância podem ser calculados pela forma exata da distribuição e densidade:

$E{M}_{+}^2\approx 1.64493\dots ,\mathrm{Var}(M_{+})\approx 0.0741337\dots .$

Em 1989, Piet Groeneboom deu uma expressão da transformada de Laplace da densidade de $\underset{0}{\overset{1}{\int }}e(t)dt$. Uma fórmula para uma certa transformada dupla da distribuição desta integral de área foi dada por Guy Louchard em 1984.

Em 1983, Groeneboom e Jim Pitman deram decomposições do movimento browniano $W$ em termos de excursões brownianas independentes e identicamente distribuídas e do menor majorante côncavo (ou do maior minoraste convexo) de $W$.

Conexões e aplicações

A área da excursão browniana

$A_{+}\equiv \underset{0}{\overset{1}{\int }}e(t)dt$

surge em conexão com a enumeração de grafos conectados, outros problemas em teoria combinatória, a distribuição limite de números de Betti de certas variedades em teoria da co-homologia. Em 1991, Lajos Takács mostrou que $A_{+}$ tem densidade

$f_{A_{+}}(x)=\frac{2\sqrt{6}}{x^2}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_j^{2/3}{e}^{-v_j}U(-\frac{5}{6},\frac{4}{3};v_j)\text{ com }{v}_j=\frac{2|a_j{|}^3}{27x^2}$

em que $a_j$ são os zeros da função de Airy e $U$ é a função hipergeométrica confluente. Em 2007, Svante Janson e Guy Louchard mostraram que

$f_{A_{+}}(x)\sim \frac{72\sqrt{6}}{\sqrt{\pi }}{x}^2{e}^{-6x^2}\text{ conforme }x\to \mathrm{\infty },$

e

$P(A_{+}>x)\sim \frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{\pi }}x{e}^{-6x^2}\text{ conforme }x\to \mathrm{\infty }.$

Os autores também deram expansões de ordem mais elevada em ambos os casos.

Em 2007, Janson deu momentos de $A_{+}$ e muitas outras funcionais de área. Em particular,

$E(A_{+})=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{2}},E(A_{+}^2)=\frac{5}{12}\approx 0.416666\dots ,\mathrm{Var}(A_{+})=\frac{5}{12}-\frac{\pi }{8}\approx .0239675\dots .$

Excursões brownianas também surgem em conexão com problemas de filas, tráfego ferroviário e alturas de árvores binárias aleatoriamente enraizadas.

Ver também

• Movimento browniano
• Ponte browniana
• Processo de Wiener