Ponte browniana

Movimento browniano fixado nos dois extremos. Aqui se usa uma ponte browniana.

Uma ponte browniana é um processo estocástico $B(t)$ de tempo contínuo cuja distribuição de probabilidade é a distribuição de probabilidade condicional de um processo de Wiener $W(t)$ (um modelo matemático do movimento browniano) sujeito à condição de que $W(T)=0$, de modo que o processo esteja fixado na origem tanto em $t=0$, como em $t=T$. Mais precisamente,

$B_t:=(W_t\mid W_T=0),t\in [0,T]$

O valor esperado da ponte é zero, com variância $\frac{t(T-t)}{T}$, implicando que a maior incerteza está no meio da ponte, com zero incerteza nos nós. A covariância de $B(s)$ e $B(t)$ é $s(T-t)/T$ se $s<t$. Os incrementos na ponte browniana não são independentes

Relação com outros processos estocásticos

Se $W(t)$ for um processo de Wiener padrão, isto é, se para $t\ge 0$, $W(t)$ for normalmente distribuído com valor esperado 0 e variância $t$ e os incrementos forem estacionários e independentes, então

$B(t)=W(t)-\frac{t}{T}W(T)$

é uma ponte browniana para $t\in [0,T]$. Isto é independente de $W(T)$.

Reciprocamente, se $B(t)$ for uma ponte browniana e $Z$ for uma variável aleatória normal padrão independente de $B$, então o processo

$W(t)=B(t)+tZ$

é um processo de Wiener para $t\in [0,1]$. De forma mais generalizada, um processo de Wiener $W(t)$ para $t\in [0,T]$ pode ser decomposto em

$W(t)=B\left(\frac{t}{T}\right)+\frac{t}{\sqrt{T}}Z.$

Outra representação da ponte browniana baseada no movimento browniano é, para $t\in [0,T]$,

$B(t)=(T-t)W\left(\frac{t}{T-t}\right).$

Reciprocamente, para $t\in [0,\mathrm{\infty }]$,

$W(t)=(T+t)B\left(\frac{t}{T+t}\right).$

A ponte browniana pode também ser representada como uma série de Fourier com coeficientes estocásticos, conforme

$B_t=\sum _{k=T}^{\mathrm{\infty }}{Z}_k\frac{\sqrt{2}\sin (k\pi t)}{k\pi }$

em que $Z_1,Z_2,...$ são variáveis aleatórias normais padrão independentes e identicamente distribuídas, como exposto pelo teorema de Karhunen-Loève.

Uma ponte browniana é o resultado do teorema de Donsker na área dos processos empíricos. Também é usado no teste Kolmogorov–Smirnov na área de inferência estatística.

Considerações intuitivas

Um processo de Wiener padrão satisfaz a condição $W(0)=0$, sendo portanto "amarrado" à origem, mas os outros pontos não são restritos. Em um processo de ponte browniana , por outro lado, não só $B(0)=0$, mas também se exige que $B(T)=0$, isto é, que o processo esteja "amarrado" em $t=T$ da mesma forma. Assim como uma ponte é sustentada por pilares nos dois extremos, exige-se que uma ponte browniana satisfaça condições nos dois extremos do intervalo $[0,T]$. Em uma ligeira generalização, exige-se que $B(t_1)=a$ e $B(t_2)=b$, em que $t_1$, $t_2$, $a$ e $b$ são constantes conhecidas.

Suponha que foi gerada uma quantidade de pontos $W(0)$, $W(1)$, $W(2)$, $W(3)$$,...,$ de um caminho de processo de Wiener por simulação de computador. Deseja-se preencher espaços com pontos adicionais no intervalo $[0,T]$, isto é, fazer a interpolação entre os pontos já gerados $W(0)$ e $W(T)$. A solução é usar uma ponte browniana, da qual se exige que vá pelos valores $W(0)$ e $W(T)$.

Caso geral

Para o caso geral em que $B(t_1)=a$ e $B(t_2)=b$, a distribuição de $B$ no tempo $t\in (t_1,t_2)$ é normal, com média

$a+\frac{t-t_1}{t_2-t_1}(b-a)$

e covariância entre $B(s)$ e $B(t)$, com $s<t$,

$\frac{(t_2-t)(s-t_1)}{t_2-t_1}.$