Fecho reflexivo

Em matemática, o fecho reflexivo de uma relação binária R num conjunto A é a menor relação reflexiva em A que contém R.

Ou seja, dada uma relação R em A, o fecho reflexivo obtém-se acrescentando a R o mínimo de elementos necessários para a tornar reflexiva.

Definição formal

O fecho reflexivo S de uma relação R num conjunto A é dado por:

$S=R\cup \{(x,x):x\in A\}$

Por outras palavras, o fecho reflexivo de R é obtido pela união de R com a relação identidade em A.

Exemplos

• Dado o conjunto $A=\{1,2,3\},$ seja B a relação definida em A por $B=\{(1,1),(1,2),(2,3)\}.$

O fecho reflexivo $B_r$ desta relação é dado por $B\cup \{(1,1),(2,2),(3,3)\},$ ou seja, $B_r=\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\}.$

• Seja o conjunto $L=\{a,b,c\}$ e a relação M em L tal que $M=\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,c)\}.$

Como a relação M já é reflexiva, o seu fecho reflexivo $M_r$ coincide com ela própria: $M_r=M.$

• Considere-se a relação definida em $ℝ$ por "x é menor que y". O fecho transitivo desta relação é a relação "x é menor ou igual que y".

Ver também

• Fecho simétrico
• Fecho transitivo