Filtro Chebyshev

A resposta em frequência de um filtro Chebyshev passa-baixas do tipo I de quarta ordem

Os filtros Chebyshev são filtros analógicos ou digitais que possuem um aumento na atenuação (roll-off) e uma maior ondulação (ripple) na banda passante que os Filtros Butterworth. Os filtros Chebyshev possuem a propriedade de minimizarem o erro entre as características do filtro idealizado e o atual com relação à faixa do filtro, porém com ripples na banda passante. Este tipo de filtro recebeu seu nome em honra a Pafnuty Chebyshev, devido a suas características matemáticas serem derivadas dos polinômios de Chebyshev.

Descrição

Filtros Chebyshev do Tipo I

Estes são o tipo mais comum dos filtros Chebyshev. A sua característica da amplitude em frequência de ordem $n$ pode ser descrita matematicamente como:

$G_n(\omega )=|H_n(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+{ϵ}^2{T}_n^2\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}}$

em que $|ϵ|<1$ e $|H({\omega }_0)|=\frac{1}{\sqrt{1+{ϵ}^2}}$ é a amplificação na frequência de corte ${\omega }_0$ (nota: a definição comum na frequência de corte como a frequência com um ganho de −3 dB não se aplica aos filtros Chebyshev), e $T_n\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)$ é um polinomial de Chebyshev da $n$ésima ordem, como por exemplo:

$T_n\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)=\cos (n\cdot \arccos \frac{\omega }{{\omega }_0});0\le \omega \le {\omega }_0$

$T_n\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)=\cosh (n\cdot \mathrm{arccosh}\frac{\omega }{{\omega }_0});\omega >{\omega }_0$

alternativamente:

$T_n\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)=a_0+a_1\frac{\omega }{{\omega }_0}+a_2{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^2+\cdots +a_n{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^n;0\le \omega \le {\omega }_0$

$T_n\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)=\frac{{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\sqrt{{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^2-1}\right)}^n+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\sqrt{{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^2-1}\right)}^{-n}}{2};\omega >{\omega }_0$

A ordem de um filtro Chebyshev é igual ao número de componentes reativos (como os indutores) necessários para a montagem do filtro utilizando eletrônica analógica.

O ripple é comumente dado em dB:

Ripple em dB = $20{\log }_{10}\sqrt{1+{ϵ}^2}$

Um ripple de 3 dB dessa forma equivale ao valor $ϵ=1$.

Um roll-off ainda mais íngreme pode ser obtido caso nos permitamos ripple na banda passante, permitindo que o zeros no eixo $j\omega$ no plano complexo. Isto ira entretanto resulta em uma menor supressão na banda atenuada. O resultado deste processo é o filtro elíptico, também conhecido como filtro Cauer.

Filtros Chebyshev do Tipo II

Também conhecidos como Chebyshev invertidos, este tipo é menos comum pois ele não apresenta um roll off tão acentuado quanto o tipo I, e requer uma maior quantidade de componentes. Ele não possui ripple em sua banda passante, porém possui ripple na sua banda atenuada. Sua função de transferência é:

${|H(j\omega )|}^2=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{ϵ}^2{T}_n^2({\omega }_0/\omega )}}}$

O parâmetros ε é relacionado à atenuação da banda rejeitada γ em decibeis por

$ϵ=\frac{1}{\sqrt{10^{0.1\gamma }-1}}$

Para uma atenuação de banda rejeitada de 5dB, ε = 0.6801; para uma atenuação de 10dB, ε = 0.3333. A frequência f_C = ω_C/2 π é a frequência de corte. A frequência de 3dB f_H é relacionada a f_C da seguinte forma:

$f_H=f_C\cosh \left(\frac{1}{n}{\cosh }^{-1}\frac{1}{ϵ}\right)$

Comparação com outros filtros lineares

Aqui temos uma imagem mostrando a resposta em frequência de filtros Chebyshev junto com a resposta de outros tipos comum de filtro obtidos com os mesmos números de coeficientes:

notamos nesta imagem que os filtros Chebyshev possuem uma queda mais acentuada do que o filtro Butterworth, porém menos acentuada do que o filtro elíptico, porém eles apresentam menos ondulações em sua largura de banda.

Ver também

• Filtro Bessel
• Filtro Butterworth
• Filtro Comb
• Filtro elíptico