Função mundo de Synge

Em relatividade geral, a função mundo de Synge é um exemplo de um bitensor, isto é, uma função tensorial de pares de pontos no espaço-tempo.

Definição

Sejam $x,x^{\prime }$ dois pontos no espaço-tempo, e suponha $x$ pertence a uma vizinhança normal convexa de $x$, de modo que exista uma $\gamma (\lambda )$ geodésica única de $x$ para $x^{\prime }$, até o afim parâmetro $\lambda$. Suponha que $\gamma ({\lambda }_0)=x^{\prime }$ e $\gamma ({\lambda }_1)=x$. Em seguida, a função mundo de Synge é definido como:

$\sigma (x,x^{\prime })=\frac{1}{2}({\lambda }_1-{\lambda }_0)\underset{\gamma }{\int }{g}_{\mu \nu }(z)t^{\mu }{t}^{\nu }d\lambda$

onde $t^{\mu }=\frac{d{z}^{\mu }}{d\lambda }$ é o vetor tangente ao $\gamma (\lambda )$ geodésico afinadamente parametrizado. Isso é, $\sigma (x,x^{\prime })$ é metade do quadrado do comprimento geodésico de $x$ a $x^{\prime }$.

A função mundo de Synge é bem definida, já que a integral acima é invariante sob reparametrização. Em particular, para o espaço-tempo de Minkowski, a função mundo de Synge simplifica para metade do intervalo de espaço-tempo entre os dois pontos:

$\sigma (x,x^{\prime })=\frac{1}{2}{\eta }_{\alpha \beta }(x-x^{\prime }{)}^{\alpha }(x-x^{\prime }{)}^{\beta }$