Função simétrica

A função simétrica em variáveis $n$ ($x_1,...,x_n$) é uma função que não é alterada por qualquer permutação de sua variável. Uma função simétrica das variáveis $n$ é uma cujo valor em qualquer n-tuplo de argumentos é o mesmo que o seu valor a qualquer permutação de que o n-tuplo. Assim, se, por exemplo, $f(𝐱)=f(x_1,x_2,x_3)$, a função pode ser simétrica em todas as suas variáveis, ou apenas em $(x_1,x_2)$, $(x_2,x_3)$, ou em $(x_1,x_3)$.

Exemplos

• Considere a função real

$f(x_1,x_2,x_3)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

Por definição, uma função simétrica com variáveis $n$ tem a propriedade que

$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_2,x_1,...,x_n)=f(x_3,x_1,...,x_n,x_{n-1})$ etc.

Em geral, a função é a mesma para qualquer permutação das suas variáveis. Isto significa que, neste caso,

$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x-x_2)(x-x_1)(x-x_3)=(x-x_3)(x-x_1)(x-x_2)$

e assim sucessivamente, para todas as permutações de $x_1,x_2,x_3$

• Considere a função

$f(x,y)=x^2+y^2-r^2$

Se $x$ e $y$ são permutadas a função torna-se

$f(y,x)=y^2+x^2-r^2$

o que produz exatamente os mesmos resultados como o original $f(x,y)$.

• Considere-se agora a função

$f(x,y)=a{x}^2+b{y}^2-r^2$::$f(y,x)=a{y}^2+b{x}^2-r^2.$

Se $x$ e $y$ são permutadas, a função torna-se

$f(y,x)=a{y}^2+b{x}^2-r^2.$

Esta função não é, obviamente, igual à original, se $1=a$$\ne$$b$, o que faz com que ela seja não-simétrica. Predefinição:Referências