Função teta de Ramanujan

Predefinição:Sem notas Em matemática, a função teta de Ramanujan generaliza a forma das funções tetas de Jacobi, enquanto mantém suas propriedades gerais. Em particular, o produto triplo de Jacobi toma uma forma particularmente elegante quando escrita na forma da teta de Ramanujan. A função recebe esse nome em referência a Srinivasa Ramanujan; esta foi sua última grande contribuição para a matemática.

Definição

A função teta de Ramanujan é definida como

$f(a,b)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{n(n+1)/2}{b}^{n(n-1)/2}$

para $|ab|<1.$ A identidade do produto triplo de Jacobi toma a forma

$f(a,b)=(-a;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(-b;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(ab;ab{)}_{\mathrm{\infty }}$

Aqui, a expressão $(a;q{)}_n$ denota o símbolo q-Pochhammer. Identidades que seguem dela incluem

$f(q,q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=\frac{(-q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}{(-q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}(q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}$

e

$f(q,q^3)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n(n+1)/2}=\frac{(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}$

e

$f(-q,-q^2)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n(3n-1)/2}=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}$

esta última sendo a função de Euler, que está intimamente relacionada com a função eta de Dedekind.

Referências

• W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.