Funções de singularidade

Funções singulares são funções que pertencem a uma classe de funções descontínuas que contém singularidades, i.e. elas são descontínuas em seus pontos singulares. Tais funções são representadas como $⟨x-a{⟩}^n$, onde n é o expoente do integrando, ou integrador. As funções são definidas como:

n	$⟨x-a{⟩}^n$
$<0$	$\frac{d^{|n+1|}}{d{x}^{|n+1|}}\delta (x-a)$
-2	$\frac{d}{dx}\delta (x-a)$
-1	$\delta (x-a)$
0	$H(x-a)$
1	$(x-a)H(x-a)$
2	$(x-a{)}^{2}H(x-a)$
$\ge 0$	$(x-a{)}^{n}H(x-a)$

Onde: δ(x) é a função Delta de Dirac, também chamada de impulso unitário. A função H(x-a) é a Função de Heaviside: H(x-a)=0 para x<a e H(x-a)=1 para x>a. O valor de H(0) dependerá da convenção escolhida, pode valer 0, 1 ou a média (0.5), por exemplo. Note que isso apenas será um problema para n=0, já que as funções contém um termo multiplicativo de “x-a” para n>0. A expressão <x-a> é também chamada de Função Rampa.

Integração

Integrar <x-a> pode ser feito de uma maneira conveniente para a qual considera-se a constante de integração como sendo nula em x=a. A regra básica de integração é:

$\int ⟨x-a{⟩}^{n}dx=\{\begin{array}{cc}⟨x-a{⟩}^{n+1},& n\le 0\\ \frac{⟨x-a{⟩}^{n+1}}{n+1},& n\ge 0\end{array}$

Exemplo de aplicação

• Vigas com carregamento constante:

A deflexão de uma viga simplesmente apoiada, secção transversal constante e módulo de elasticidade, pode ser calculada usando a Teoria de Euler-Bernouli para vigas longas e sem cisalhamento. Aqui nós estamos usando a convenção de sinais de forças para baixo e momentos de flexão como sendo positivos.

Distribuição de carga:

$w=-3N⟨x-0{⟩}^{-1}+6N{m}^{-1}⟨x-2m{⟩}^0-9N⟨x-4m{⟩}^{-1}$

Força cortante:

$S=\int wdx$

$S=-3N⟨x-0{⟩}^0+6N{m}^{-1}⟨x-2m{⟩}^1-9N⟨x-4m{⟩}^0$

Momento de flexão:

$M=-\int Sdx$

$M=3N⟨x-0{⟩}^1-3N{m}^{-1}⟨x-2m{⟩}^2+9N⟨x-4m{⟩}^1$

Declividade:

$u^{\prime }=\frac{1}{EI}\int Mdx$

Porque a declividade não é zero em x=0, uma constante de integração, c, é adicionada

$u^{\prime }=\frac{1}{EI}(\frac{3}{2}N⟨x-0{⟩}^2-1N{m}^{-1}⟨x-2m{⟩}^3+\frac{9}{2}N⟨x-4m{⟩}^2+c)$

Deflexão:

$u=\int u^{\prime }dx$

$u=\frac{1}{EI}(\frac{1}{2}N⟨x-0{⟩}^3-\frac{1}{4}N{m}^{-1}⟨x-2m{⟩}^4+\frac{3}{2}N⟨x-4m{⟩}^3+cx)$

A condição de fronteira u=0 em x=4m nos permite resolver para c=-7Nm²