Função total de fatores primos não repetidos

Predefinição:Sem-fontes A função total de fatores primos não repetidos, também chamada de Predefinição:Math ("omega") representa o número de fatores primos distintos de n. Como 1 não possui fatores primos, o valor de Predefinição:Math é zero. Todos os números primos e as potências de números primos assumem sempre Predefinição:Math = 1.

Há uma ligação entre a função Predefinição:Math e a função [[Função total de fatores primos incluso repetidos|Predefinição:Math]]. Se

$n=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{p}_i^{{\alpha }_i}$,

então

$\mathrm{\Omega }(n)=\sum _{i=1}^{\omega (n)}{\alpha }_i$.

A função Predefinição:Math é uma função aritmética do tipo aditiva.

Exemplos

Para n=1, ω(1)=0, já que 1 não possui fatores primos. Para um primo p qualquer, n = p, ω(p)=1, pois o expoente de p é 1. Para qualquer primo, ω(p)=1.

Seja $N=p_1^{t_1}{p}_2^{t_2}{p}_3^{t_3}\dots p_m^{t_m}.$

Então simplesmente $\omega (N)=m,$ pois

$N=\prod _{i=1}^m{p}_i^{t_i}$ ou $N=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{p}_i^{{\alpha }_i}$, como explicado antes.

Outros exemplos:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2⁴) = 1

ω(20) = ω(2² · 5) = 2

ω(27) = ω(3³) = 1

ω(144) = ω(2⁴ · 3²) = ω(2⁴) + ω(3²) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2⁴ · 5³) = ω(2⁴) + ω(5³) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54.032.858.972.279) = 3

ω(54.032.858.972.302) = 5

ω(20.802.650.704.327.415) = 5

A sequência para Predefinição:Math, com Predefinição:Math = 1, 2, 3, ... é 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, ... e pode ser vista em A001221

Veja também

• Função aritmética
• Função multiplicativa
• Teoria aditiva dos números
• Função total de fatores primos incluso repetidos